成贤教材-高数B下习 题 课 下04.docVIP

习 题 课 下 04 填空题 1．设为非零向量，且，，，则。 解：显然互相垂直。∵， 同理，，∴，又， ∴，同理可证，故。 2．，则。 解： 。 3．已知三角形，，，则的面积。 解：，，， 4．设一平面过原点及，且与平面垂直，其方程为。 解：，已知平面的法向量为， 则所求平面的法向量为， 故所求平面的方程为，即。 5．已知直线和，则过且平行于的平面方程为。 解：所求平面的法向量， 点， 故所求平面方程为，即。 6．点到直线：的距离。 解：直线的方向向量，，， ，，。 选择题 1．下列命题正确的是（ C ） （A）； （B）； （C）； （D）。 解：（A）：左边，右边； （B）：左边，右边； （C）：。 （D）：与同向；与同向。 2．两直线与的夹角为（ D ）。 （A）； （B）； （C）；（D）。 解：、的方向向量分别为， ，。 3．直线与（ D ） （A）垂直； （B）平行； （C）相交；（D）异面但不垂直。 解：，，∵，∴与不垂直也不平行。 ，，， ∵，∴与异面，且不垂直。 4．直线与平面的关系为（ A ） （A）平行，但直线不在平面上；（B）直线在平面上；（C）垂直相交；（D）相交但不垂直。 解：的方向向量为，平面的法向量为， ∵，∴又∵，但，∴∥，但。 三、解答题 1．求过点，与已知平面平行，且与直线 相交的直线L的方程。 解法1：直线L的方程为，方向向量为， 平面的法向量为，∵，∴，得， 直线的方向向量为 ，，，∵与相交， ∴， 由， ∴所求直线L的方程为。 解法2：设所求直线L与直线的交点为，则 ，即为直线L的方向向量，它必与平面的法向量垂直，于是得 ∴，L的方程为。 2．一平面过直线且与直线之间的夹角为，求该平面方程。 解：设过的平面束方程为， 即，其法向量为， 的方向向量，则， 化简得，或， 故所求平面方程为或。 3．求点关于平面：的对称点的坐标。 解：过点A垂直于平面的直线方程为，其参数方程为 ，，，代入平面的方程，得 ，，。 ∴交点（即投影点）为。 设所求的对称点为，则点C为线段AB的中点，有 ，，，，，。∴所求的点为。 4．求过直线L：且球面相切的平面方程。 解：过直线L的平面束方程为， 即， 令球心到平面束的距离为，得， ，解得，代入平面束方程 当时，得，即； 当时，得，即。 5．已知入射线，求该光线经过平面：反射后的反射线的方程。 解法1：将直线L的参数方程，，，代入平面的方程： ，，， 得入射线L与平面的交点。 设入射线L与反射线的方向向量分别为与，平面的法向量为，取，则。 ， ， 得，。∴，又， ∴反射线的方程为，即。 解法2：①先求L与平面的交点P，， ②过点作与平面垂直的直线， 将直线的参数方程代入平面的方程，得 ，，∴垂足为。 ③设关于平面的对称点为，则为线段 的中点，∵，∴，∴。 ④过点和点的直线即为反射线， ：，即。 1