成贤教材-高数B下§8.1多元函数的概念.docVIP

§8.1多元函数的概念 8.1．1 预备知识 1.n维欧几里得空间 有序元数组的全体为n维空间，而每个有序元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标。维空间记为。 。 即，， 中两点，间的距离规定为 ，记为，即 。 可以证明距离满足下列性质： （1）非负性 ，的充要条件是； （2）对称性 ； （3）三角形不等式。 定义了距离之后的称为n维欧几里得空间。 唯一确定了以为起点，为终点的向量，常称为一个，记 。 2.邻域设点，， ： ； ： 。 在中，就是平面上以点为中心、为半径的圆的内部的点的全体，即 若不需要强调邻域半径，则用表示点的邻域；用表示点。 3.开集、闭集、区域 设点集，，。 （1）内点：若，则称是内点。 （2）外点：若，则称是外点。 （3）边界点：若的任何邻域中既含有点，又含有非点， 则称是边界点。的边界点的全体称为边界。 （4）有界集与无界集：如果存在原点的某个邻域，使， 则称为有界集，否则称为无界集。 （5）开集：如果点集的点都是内点，则称为开集。 （6）聚点：如果在的任一邻域中至少含有的一个异于的点， 则称是的聚点。 （7）闭集：若的所有聚点都在内，则称是闭集。 （8）连通的：设是一个开集，如果对于内任何两点，都可用折线连结起来， 且该折线上的点都属于，则称开集是连通的。 （9）区域（或开区域）：连通的开集称为区域（或开区域）。 （10）闭区域：开区域连同它的边界一起，称为闭区域。 （11）区域的直径：称为集合的直径。 例如：①点集中每一个点都是的内点；的边界 是和；是有界开区域。 ②是有界闭区域。 ③是无界开区域。 8.1．2 n元函数 定义：设点集，如果存在一个对应法则，对，有唯一的数与之对应，则称是定义在上的元函数，简记为 或其中为自变量，称为的定义域。 例1．确定并画出下列函数的定义域D。 （1） 解：， ∴函数的定义域 为，是无界区域。 （画图时介绍“以点示面法”。） （2） 解： ∴定义域为。 例2．设，求。 解：设，， ，∴。 8.1.3 二元函数的几何意义 设函数的定义域，， 对应的函数值为，于是有序实数组确定了空间的一点。当遍取的一切点时，得到一个空间点集，这个点集称为函数的图形。通常二元函数的图形是一张空间曲面。 例如：线性函数 的图形是一张平面。 函数的图形是上半球面。 函数的图形是旋转抛物面。 §8．2 多元函数的极限与连续 8．2．1多元函数的极限 先讨论二元函数当（或当）时的极限。，即。 定义1 设函数在点集上有定义，是聚点，一个定数。若， 时，总有 成立，则称A为函数当（或当）时的极限，记作 或 。 二元函数的极限称为二重极限。 例1．设，求证 证明：∵， ∴，取，则当时，总有 成立，故 注意：二重极限存在，其值，是指动点以任何方式趋向于时，，且其值都。 如果点沿不同路径趋向于时，趋向于不同的值，那么就可断定的极限不存在。 例4．考察函数在点是否存在极限？ 解：（1）当点，即当，时，有 ， （2）当点，即当，时，有 ， （3）当点沿直线趋于点时，即当，时有 ，因此不存在。 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到元函数上去。 8．2．2多元函数的连续性 1．二元函数在点连续的定义 定义2 设函数的定义域，是聚点。若 或， 则称函数在点处连续。 若函数在点处不连续，则点称为函数的间断点。 若在开区域（或闭区域）某些孤立点，或者沿某些曲线，函数没有定义，但在其余部分，都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点都是函数的间断点。 例如函数的间断点是圆周上的点。 函数的间断点是。 2．函数在区域D上的连续性 如果函数在区域D上任意一点都连续，则称在区域D上连续。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 3．二元函数和、差、积、商的连续性和二元复合函数的连续性 二元连续函数的和、差、积、商（在分母不为零处）均为连续函数； 二元连续函数的复合函数也是连续函数。 4．二元初等函数 由自变量，常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和复合步骤所构成的，并能用一个解析式子所表示的函数称为二元初等函数。例如： ；；等都是二元初等函数。 结论：