成贤教材-高数B下§7.4 平面方程.docVIP

§7.4 平面方程 空间的曲面和曲线可以看作是满足一定条件的点的轨迹。 ： （1）都满足方程； （2）不在都不满足方程，则方程的方程，程的图形。 7.3.1 平面的点法式方程 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量。 ，，。 解：， ，，。 ∵ ，， ∴ ， ① 方程①点法式方程。 例1．求过点且垂直于向量的平面方程。 解：取为法向量， 由平面的点法式方程得所求平面的方程： ，即。 例2．求坐标平面的方程。 解：∵，故取为法向量， 又∵面过原点，∴所求方程为 ， 即面的方程为。同理，面的方程为；面的方程为。 7.4.2 平面的一般方程 将方程①展开得： ， 令，则有 。 ② 这是方程，所以平面可用方程来表示；反之，不全为零时，方程②一定表示一个平面。 取方程②的一组解，则有 ③ ②-③得：， 它表示过点，且以为法向量的平面。 方程② 称为平面的一般方程。 注意： 在平面解析几何中，一次方程表示一条直线； 在空间解析几何中，一次方程则表示 一个平面。 下面讨论方程②的特殊情况。 1．通过原点的平面 方程表示通过原点的平面； 2．平行于坐标轴的平面 当时，方程； ∵平面的法向量为与垂直， ∴方程。 当时，方程； 当时，方程。 3．通过坐标轴的平面 ，方程； ，方程； ，方程。 4．平行于坐标平面的平面 ，方程； ∵平面的法向量， ∴方程。 ，方程； ，方程。 平面的截距式方程设平面与坐标轴分别交于，，三点，其中。求平面的方程。 设平面方程为， 则有， ，， ，，。 ∴ ， 化简得 。 ④ 方程④称为平面的截距式方程，称为此平面在，，轴上的截距。 例3．，且与平面：，。 解：方法1：设，其法向量为，法向量为。 ∵，∴有，， 又∵，∴， ∴，即， ∴，，。 为，即。 方法2：设，。 ∵，=，∴，， 故可取， 取定点为代入点法式，： ，即。 例4．的平面方程。 解：方法1：设所求平面的方程为，其法向量为， 平面的法向量为， ∵，∴·，， ∴，即为所求的平面方程。 方法2：设所求平面的法向量为， 平面的法向量为， ∵，， ∴可取=， 取定点为，代入点法式，得所求平面的方程： ，即。 平面的三点式方程已知平面上不共线的三点，，，求平面方程。 解：设为平面上任一点，作向量，，，则 ，即. 7.4.3 有关平面的一些问题 1。两平面的夹角 两平面法向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。 设两平面为：， ：， 法向量分别为，， 它们的夹角应是或两者中的锐角， 故，则 平面； 平面∥。 例5．求两平面与的夹角。 解：、， ，。 2.点到平面的距离 设是平面外一点，求点到这平面的距离。 解：在平面上任取一点，，则从，即 . ∵， ∴ ∵在平面上，∴， ∴。 例6．求点到平面的距离。 解：。 §7.5直线的方程 7.5.1直线的方程 以下任何一种情形,都唯一确定一条直线： （1）作为两个相交平面； （2）； 1.直线的一般方程 当空间直线L作为两个相交平面 ：，：，的交线时， 方程组 ⑤ 就表示交线的方程，⑤式称为空间直线的一般方程。 例如：方程组，， 分别表示、。 2.直线的标准方程（或点向式方程） 与直线平行的非零向量称为直线的方向向量。 设直线L过点， 方向向量为， 是L上任意一点， 则， 由∥，得， ⑥ ⑥式称为直线的标准方程或点向式方程。 直线的任一方向称为直线的一组方向数。 当中有一个为零，例如，则⑥应理解为； 当中有两个为零，例如，则⑥应理解为 3.直线的参数方程 在直线方程⑥中，设，则有 ， ⑦ 方程组⑦称为直线的参数方程。 直线的点向式、参数式、一般式方程之间的互化 由直线的点向式方程容易得出参数式方程。反之，由参数式方程显然能直接写出点向式方程。 把点向式方程的连等式写成两个方程，即便是直线的一般式方程。 把一般式方程化为点向式方程，归结为在直线上找出一确定点和求出直线的方向向量。 例7．用点向式方程及参数方程表示直线。 解：（方法1）先求直线上的一点，令代入原方程组得，，即点在直线上。再求