成贤教材-高数B下习 题 课 下09.docVIP

习 题 课 下09 一、选择题 设C为椭圆，其周长为a，则。 解：（代入C的方程） （C关于y轴对称，被积函数xy关于x为奇函数） 2．设与平面的交线，则。 解：∵与平面的交线，而平面通过原点， ∴上半径为R的圆，其周长为。 ∵方程对x，y，z具有轮换对称性， ∴， 。 ∴。 3．为，则。 解：∵对x，y，z具有轮换对称性，∴， 。 4．为上半球面，则。 解：解：：在xoy面上的投影区域为， ∵，， ， ∴ 。 5．设具有连续导数，且，C为半圆周，起点为，终点为，则。 解：，，∵， ∴曲线积分与路径无关，取：作为积分路径。 。 二、选择题 设C为闭曲线，取逆时针方向，则（ A ）。 （A）；（B）；（C）；（D）。 解： 。 设C是圆周，则（ D ）。 （A）0；（B）1；（C）；（D）。 解：C的极坐标方程为，，， 。 另解：假设C的分布有恒等于1的均匀密度，那么C的质量等于，并且 ，故。 3．：，，则有（ C ） （A）； （B）； （C）； （D）。 解：由第一型曲面积分的性质知，，， ∵在x，y，z具有轮换对称性，∴，故应选（C）。 2．计算，其中锥面所围立体的全面积。 解：， ：，， ：，， ：。 6．已知物质球面上每点的面密度等于该点到球的某一直径的距离的平方，求其质量。 解：设球面方程为：， 取某一直径的z轴上，则面密度为。 ∵关于x，y，z具有轮换对称性，∴， ∴ 1