成贤教材-高数B下§6.1数项级数的概念与性质.docVIP

第六章 无穷级数 §6.1数项级数的概念与性质 6.1.1数项级数的概念 定义1 设有无穷实数列，则称为数项级数，简称级数。其中第称为级数的一般项或通项。 各项都是实常数的级数称为数项级数；以函数为项的级数称为函数项级数。 例如： 调和级数 等比级数 定义2 称级数，为级数部分和。若部分和数列极限存在，即，则称级数收敛，并级数的和，记为。若部分和极限不存在，则称级数发散。 当级数收敛时，部分和，称 为级数的余项，的误差可由，由于，故，这表明，之间的误差越小。 例1．判别级数的敛散性，若收敛，求其和。 解：∵， ∴ ＝， ∵， ∴级数收敛，其和。 例2．讨论等比级数的敛散性。 解：， （1）当时， ∵ ，∴级数收敛。 （2）当时， ∵， ∴级数发散。 （3）当时，① 当时，，故级数发散。 ② 当时， ，级数发散。 综上可知， 。 例3．判别级数的敛散性，若收敛，求其和。 解：此级数为等比级数，公比，∵，∴级数收敛，＝ 例4．证明调和级数发散。 证：考虑该级数部分和数列，有 ， ， ， ……… ， 当时，，即不存在。∴也不存在，故调和级数发散。 6．1．2 数项级数收敛的必要条件 定理1 （级数收敛的必要条件）若级数收敛，则。 证明：设， ∵，∴。 若收敛，亦即发散， 是级数收敛的必要条件，但不是充分条件。 例如调和级数是发散的，而。 例5．判别级数的敛散性。 解：∵，∴级数发散。 6．1．3数项级数的基本性质 性质1 若级数收敛，其和为，则对任意常数，级数也收敛，其和为。 乘以非零常数不改变级数的敛散性。 性质2 若级数和都收敛，其和分别为和，则级数也收敛，其和为。 收敛级数可以逐项相加和逐项相减。 性质3 在级数中去掉或加上有限多项，不改变级数的敛散性。 例如的等比级数是收敛的，其和， 减去它的前五项得到的级数 仍收敛，其和。 性质4 若级数收敛，则不改变它的各项次序任意添加括号后构成的新级数仍然收敛且其和不变。 证明：设， ，，， ， ，级数和的部分和分别为， 则，，，，， 故的子列，从而当存在时，必存在，且 ，因此性质4成立。 注意：若加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数收敛。 例如：级数收敛于零，但级数发散。 推论：如果加括号后的级数发散，则原级数也发散。 因为若原级数收敛，则由性质4可知加括号后的级数应收敛，这与前提矛盾。 例8．试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。 （1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。 解：说法不正确。例如与均发散，但逐项相加所组成的级数收敛。 （2）一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。 解：说法正确。可用反证法证之。设收敛，发散，若收敛，则由级数性质2可知，也收敛，与假设矛盾，故发散。 例6．判别下列级数的敛散性： （1）（2）（3） （4）；（5）（6） 解（1）：∵是等比级数，公比，∴级数发散。 解（2）：∵收敛，∴收敛，而为公比的等比级数，1，收敛的； ∴也收敛。 解（3）：∵发散，是的等比级数，收敛的，∴发散。 解（4）：∵，发散 解（5）：，， ∵，而当时无极限，∴发散， ∴级数发散。 解（6）：， ∵， ∴，∴原级数收敛，其和为。 §6.2 数项级数判敛法 6.2.1 正项级数及其判敛法 级数，，称为正项级数。 ∵，∴是一个单调增加的数列。 若有界，则必存在，从而收敛。 反之，若收敛，则，必有界。 定理1 正项级数收敛它的部分和数列有界。 例1．试判定正项级数的收敛性。 解：，即有界，故正项级数收敛。 定理2（比较判别法） 设有两个正项级数和，且 （1）若收敛，则也收敛； （2）若发散，则也发散。 证：（1）设和的部分和分别为，若收敛，则有界，即存在，使得。∵，故，∴有界，故收敛。 （2）用反证法。若收敛，由（1）知收敛，这与发散矛盾，故发散。 注意到级数的每一项同乘不为零的常数，以及去掉级数前面部分的有限项不会改变级数的敛散性，可得如下推论： 推论：设和都是正项级数，若存在常数，，使当时恒有成立，则由收敛收敛；由发散发散。 例2．讨论级数的敛散性，其中。 解：（1）当时，，而发散，故发散。 （2）当时，对于，有，可得 ，知部分和 。 故有界，从而收敛。 级数 用比较审敛法判定正项级数的敛散性时，常用等比级数和级数作为比较级数。 例3．判定级数的敛散性： （1） ； （2） ； （3）。 解：（1）∵，∴，∴收敛。 （2）∵（），而，发散， ∴发散。 （3）∵，，∴收敛 定理3（极限形式的比较判别法） 设和均为正项级数，且，