成贤教材-高数B下§6.6傅里叶级数.docVIP

§6.6傅里叶级数 6.6.1三角函数系的正交性 一、三角函数系： 二、三角函数系的正交性： 三角函数系中任何两个不同函数的乘积上的积分等于零，即 ； ； ； ； 。 每个函数自乘上的积分都不是零，如； ； 。 6.6.2函数展开为傅里叶级数 一、欧拉—傅里叶公式 设以为周期的函数可展开成三角级数 并设级数（1）在上可逐项积分，那么系数与存在什么关系？如何求出？ 利用三角函数系的正交性，对（1）式两边在上积分： ， 故。 用乘以（1）式两边后积分： ， ∴。 同理用乘以（1）式两边后积分，得 。 可由统一给出： （2）式称为欧拉—傅里叶公式。 2、傅里叶级数 设在上可积，则以（2）式中的作为系数而得到的三角级数称为函数的傅里叶级数，记为 ～。 （3） 的傅里叶系数。 例1．以为周期，且时，求的傅里叶级数。 解：，， ， ∴。 3．傅里叶级数的收敛性 定理1（狄利克雷（）充分条件）（简称狄氏条件） 设以为周期，在上满足： （1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点； 则的傅里叶级数在上收敛，且其和函数为 如例1：时，， 时，。 把在上展开为傅里叶级数的步骤为 （1）运用狄氏条件判断能否展开为傅里叶级数； （2）求出傅里叶系数； （3）写出傅里叶级数并注明在何处收敛于； （4）画出和的图形（至少画出三个周期），并写出。 例2．设以为周期，且，将展开为傅里叶级数，。 解：满足狄氏条件，由收敛定理知在上收敛。 ， ， . 的傅里叶级数展开式为 ， 当时，级数收敛于； 当时，级数收敛到于。 的图形与其傅里叶级数的和函数的图形分别如下： 的图形 的图形 例3．设以为周期，且，将展开为傅里叶 级数，。 解：， 。 的傅里叶级数展开式为 ，. 当时，级数收敛于级数； 当时，级数收敛于。 的图形与其傅里叶级数的和函数的图形分别如下： 的图形 的图形 若只在上有定义，且满足收敛定理的条件，则将延拓为以为周期的函数，即定义一个函数，使它在上以为周期，在上，然后将展开为傅里叶级数，再限制在上，便得的傅里叶级数展开式。根据收敛定理，这级数在处收敛于。称为的周期延拓。 例4．将函数展开成傅里叶级数。 解：将在上作周期延拓， ， ， ， ∵在内连续， 当时，， 故由收敛定理得 。 当时， ，得。 当时，， 得。 §6.7 正弦级数和余弦级数 6.7.1 奇函数和偶函数的傅里叶级数 定理 设是周期为的函数，在一个周期上可积，则 （1）当为奇函数时，它的傅里叶系数为 ， . （2）当为偶函数时，它的傅里叶系数为 ，. 定理说明：若为奇函数，则其傅里叶级数是只含正弦项的正弦级数. ③ 若为偶函数，则其傅里叶级数是只含常数项和余弦项的余弦级数.④ 例1．将周期函数（是正常数）展开成傅里叶级数。 解：∵是周期为的偶函数， ∴。 而 。 得. 6.7.2 函数展开成正弦级数或余弦级数 设在上满足收敛定理的条件， 1．将在上展开成正弦级数： 令则是上的奇函数，称为的奇式延拓。将在上展开成傅里叶级数，这个级数必定是正弦级数，再将制在上，此时，便得的正弦级数展开式，其中 ， 。 2．将在上展开成余弦级数： 令 则是上的偶函数，称为的偶式延拓。将在上展开成傅里叶级数，再限制在上，便得的余弦级数展开式，其中 ，. 注：具体计算和时，只用到和在上的积分，故不 必写 出延拓函数。 例2．将函数（）分别展开成正弦级数和余弦级数。 解：（1）求正弦级数，， ， ∴ （） 当和时，级数收敛于0，它不代表原来函数的值。 （2）求余弦级数，，， ， ∴（）。 §6.8 以为周期的函数的傅里叶级数 设周期为满足狄氏条件， 令，则， 变为， ， 则以为周期，在上的傅里叶系数为 ， ， 。 ， 从而 定理2 设周期为的函数在上满足狄氏条件