2017-2018学年度高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用（三）练习 新人教A版选修1-1.docVIP

3.3 导数在研究函数中的应用（3） A级　基础巩固 一、选择题 1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是(　A　) A．12；－8　　　　　　 B．1；－8 C．12；－15 D．5；－16 [解析]　y′＝6x2－6x－12，由y′＝0x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8. ymax＝12，ymin＝－8.故选A． 2．函数f(x)＝x3－3x(|x|1)(　D　) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 [解析]　f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，x∈(－1,1)，f ′(x)0，即函数在(－1,1)上是单调递减的，既无最大值，也无最小值． 3．函数f(x)＝3x－x3(－≤x≤3)的最大值为(　B　) A．18　　 B．2　　 C．0　　 D．－18 [解析]　f ′(x)＝3－3x2，令f ′(x)＝0，得x＝±1，－≤x－1时，f ′(x)0，－1x1时，f ′(x)0,1x≤3时，f ′(x)0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值． f(1)＝2，f(－1)＝－2， 又f(－)＝0，f(3)＝－18， [f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18. 4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为(　D　) A．2 B．4 C．18 D．20 [解析]　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1. f(0)＝－a, f(1)＝－2－a, f(3)＝18－a， f(x)max＝18－a，f(x)min＝－2－a， 18－a－(－2－a)＝20. 5．下列说法正确的是(　D　) A．函数的极大值就是函数的最大值 B．函数的极小值就是函数的最小值 C．函数的最值一定是极值 D．在闭区间上的连续函数一定存在最值 [解析]　根据最大值、最小值的概念可知选项D正确． 6．函数f(x)＝ln x－x在区间[0，e]上的最大值为(　A　) A．－1 B．1－e C．－e D．0 [解析]　f′(x)＝－1＝， 令f′(x)0，得0x1， 令f′(x)0，得1xe， f(x)在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，当x＝1时，f(x)取极大值，这个极大值也是最大值．f(x)max＝f(1)＝－1. 二、填空题 7．当x[－1,1]时，函数f(x)＝的值域是__[0，e]__. [解析]　f′(x)＝＝， 令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2. f(－1)＝e, f(0)＝0, f(1)＝， f(x)max＝e, f(x)min＝0， 故函数f(x)的值域为[0，e]． 8．若函数f(x)＝3x－x3＋a，－≤x≤3的最小值为8，则a的值是__26__. [解析]　f ′(x)＝3－3x2，令f ′(x)＝0，得x＝±1. f(1)＝2＋a，f(－1)＝－2＋a. 又f(－)＝a，f(3)＝－18＋a. f(x)min＝－18＋a.由－18＋a＝8.得a＝26. 三、解答题 9．(2016·福建宁德市高二检测)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋3ax在x＝1时取得极值. (1)求a的值； (2)若关于x的不等式f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，求实数k的取值范围． [解析]　(1)f′(x)＝3x2－4ax＋3a， 由题意得f′(1)＝3－4a＋3a＝0，a＝3. 经检验可知，当a＝3时f(x)在x＝1时取得极值． (2)由(1)知， f(x)＝x3－6x2＋9x， f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立， k≥f(x)max即可． f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3) ＝3(x－1)(x－3)， 令f′(x)0，得3x4或0x1， 令f′(x)0，得1x3. f(x)在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增， 当x＝1时， f(x)取极大值f(1)＝4，当x＝3时， f(x)取极小值f(3)＝0. 又f(0)＝0，f(4)＝4， f(x)max＝4，k≥4. B级　素养提升 一、选择题 1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为(　A　) A． B． C． D． [解析]　f ′(x)＝1－3x2＝0，得x＝[0,1]， f＝，f(0)＝f(1)＝0. f(x)max＝. 2．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上图象连续不断且f ′(x)g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　A　) A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b