2017-2018学年度高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2 抛物线 3.2.2 抛物线的简单性质课件 北师大版选修2-1.pptVIP

-*- 3.2.2　抛物线的简单性质 抛物线的简单性质 【做一做1】 抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是(　　) 答案:C 【做一做2】 等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2=2px(p0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△ABO的面积是(　　) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 答案:B 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形. (　　) (2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上. (　　) (3)直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点. (　　) × √ √ 探究一 探究二 探究三 思维辨析 直线与抛物线的位置关系 【例1】 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k.当k为何值时,直线l与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点? 思维点拨:用解析法解决这个问题,只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系. 解:由题意,设直线l的方程为y-1=k(x+2). 得ky2-4y+4(2k+1)=0.① 探究一 探究二 探究三 思维辨析 (2)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1). 1°由Δ=0,即2k2+k-1=0, 从而方程组(*)只有一个解. 这时,直线l与抛物线只有一个公共点. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 于是,当k-1或k 时,方程①没有实数解,从而方程组(*)没有解.这时,直线l与抛物线没有公共点. 综上,我们可得 反思感悟解决直线与圆锥曲线的交点问题时,主要方法是构建一元二次方程,判断其解的个数,确定斜率或直线的倾斜角时,应特别注意斜率为0和斜率不存在两种情形,还应注意在抛物线中,直线和曲线有一个公共点并不一定相切. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1 如图,已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)(k≠0)相交于A,B两点,且直线与x轴交于点N. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB的面积等于 时,求k的值. 思维点拨:利用根与系数的关系、弦长公式或应用向量解题. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求抛物线方程 【例2】 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2 ,求这条抛物线的方程. 思维点拨:因为圆和抛物线都关于x轴对称,所以它们的交点也关于x轴对称,即公共弦被x轴垂直平分,于是由弦长等于2 ,可知交点纵坐标为± . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解:设所求抛物线方程为y2=2px或y2=-2px,p0. 设交点A(x1,y1),B(x2,y2)(y10,y20), ∴所求抛物线方程为y2=3x或y2=-3x. 反思感悟因为抛物线是轴对称图形,所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程. 解:如图,依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则经过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=-x+ p. 设直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线的定义, 又点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点, 探究一 探究二 探究三 思维辨析 ∴x1+x2=3p.将其代入①,得p=2. ∴所求抛物线的方程为y2=4x. 当抛物线的方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 与抛物线有关的最值问题 【例3】如图所示,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积. 思维点拨:通过联立方程组求得A,B坐标,从而可得|AB|的大小;设出P点坐标,利用点到直线的距离公式表示出AB边上的高,从而表示出△PAB的面积;考虑P点坐标变量的范围求得目标函数的最大值即可. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为P点到直线AB的距离, 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟解决本题的关键是弦AB为定值,将点P到直线AB的距离的最值转化为二次函数问题求解.在应用配方法求最值时,一定要注意自变量的取值范围. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值. 解:(方法