2017-2018学年度高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3 双曲线 3.3.2 双曲线的简单性质课件 北师大版选修2-1.pptVIP

-*- 3.3.2　双曲线的简单性质 知识拓展1.等轴双曲线: 实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,其方程为x2-y2=±a2. 等轴双曲线有两个非常明显的特征:(1)离心率e= ;(2)两条渐近线互相垂直.这两个特征可用来作为判断双曲线是不是等轴双曲线的充要条件. 2.共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线. 互为共轭的双曲线具有如下性质: (1)它们具有相同的渐近线; (2)它们的四个焦点共圆; 记忆方法:将 中的1改为0即为渐近线,1改为-1即为共轭双曲线. 【做一做1】 设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=± x,则该双曲线的离心率e等于(　　) 答案:C 解析:由题意知a2=16, 即a=4,又e=2, 所以c=2a=8, 则m=c2-a2=48. 答案:48 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上. (　　) (2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同. (　　) (3)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线. (　　) √ × × 探究一 探究二 探究三 思维辨析 双曲线的简单性质 【例1】 求双曲线4x2-y2=4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图. 思维点拨:先将所给双曲线方程化为标准方程,再根据标准方程求出各有关量. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟已知双曲线的方程讨论其几何性质时,需先看所给方程是不是标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,再由标准方程确定焦点所在的坐标轴,找准a和b,才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.注意与椭圆的相关几何性质进行比较. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是 (　　) 答案:(1)D　(2)C 探究一 探究二 探究三 思维辨析 由双曲线的性质求双曲线方程 思维点拨:双曲线焦点不确定,可分情况讨论;也可由共渐近线的双曲线系方程求解,这样可避免讨论. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解:(1)当所求双曲线的焦点在x轴上时, 探究一 探究二 探究三 思维辨析 直线与双曲线的位置关系 【例3】 已知直线y=kx与双曲线4x2-y2=16.当k为何值时,直线与双曲线: (1)有两个公共点? (2)有一个公共点? (3)没有公共点? 当4-k2=0,即k=±2时,方程(*)无解; 当4-k2≠0时,Δ=-4(4-k2)(-16)=64(4-k2), 当Δ0,即-2k2时,方程(*)有两解; 当Δ0,即k-2或k2时,方程(*)无解; 当Δ=0,且4-k2≠0时,不存在这样的k值. 综上所述,(1)当-2k2时,直线与双曲线有两个公共点; 探究一 探究二 探究三 思维辨析 (2)不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值; (3)当k≤-2或k≥2时,直线与双曲线没有公共点. 反思感悟直线与双曲线的位置关系的判断思路: 利用方程组法解决直线与双曲线的公共点问题,要注意讨论转化以后的方程的二次项系数.即若二次项系数为0,则直线与双曲线的渐近线平行或重合;若二次项系数不为0,则进一步研究二次方程的根的判别式Δ,得到直线与双曲线的公共点个数. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点. (1)求线段AB的长; (2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点? 探究一 探究二 探究三 思维辨析 ∴x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0. 即(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0, 经检验a=±1时,以AB为直径的圆经过坐标原点. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因忽视二次项系数是否为零而致误 【典例】 已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且仅有一个公共点,则k的值为　　　　　.? 易错分析:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线也只有一个交点. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当1-k2≠0,即k≠±1时,上述方程为二次方程. ∵直线和双曲线有且仅有一个公共点, 当k=±1时,直线和双曲线的渐近线平行,此时有且仅有一个公共点. 纠错心得将直线与双曲线方程联立,当二次项系数为0时,所得直线与双曲线的渐近线平行,此时交点个数为一个,当二次项系数不为0时,由Δ=0,得此时直线与双曲线相切,交点个数为一个. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练直线l:ax-y-1=0与双曲线C:x2-2y2=1