2017-2018学年度高中数学 第一章 推理与证明 习题课 数学归纳法的应用课件 北师大版选修2-2.pptVIP

-*- 习题课——数学归纳法的应用 1.经验归纳法与数学归纳法结合 数学归纳法实质上是演绎法的一种,它是一种必然推理,它只能证明与正整数有关的命题,却不能发现结论.我们常把经验归纳法与数学归纳法结合起来,形成归纳,猜想,证明的思想方法,既可以发现新命题,又能证明其正确性,组成一套完整的数学思想方法. 2.数学归纳法的特征 数学归纳法所证明的是与正整数有关的命题.实际上就是正整数的无穷性命题,但是数学归纳法的基本步骤是有穷的,仅仅只有两个步骤,而且这两个步骤缺一不可.数学归纳法是在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题. 【做一做1】 用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是(　　) A.假设n=2k+1时命题成立,再推n=2k+3时命题成立(k∈N+) B.假设n=2k-1时命题成立,再推n=2k+1时命题成立(k∈N+) C.假设n=k时命题成立,再推n=k+1时命题成立(k∈N+) D.假设n≤k(k≥1)时命题成立,再推n=k+2时命题成立(k∈N+) 解析:因为n为正奇数,所以第二步应先假设第k个正奇数时命题成立.本题即假设n=2k-1时命题成立,再推第(k+1)个正奇数即n=2(k+1)时命题成立. 答案:B 【做一做2】 在数列{an}中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,通过求S2,S3,S4,猜想Sn=　　　　　　　.? 解析:∵Sn,Sn+1,2S1成等差数列,∴2Sn+1=Sn+2S1. 又∵S1=a1=1, 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用数学归纳法证明整除问题 【例1】 已知f(n)=(2n+7)·3n+9. (1)求f(1),f(2),f(3)的值; (2)是否存在不小于2的正整数m,使得对于任意的正整数n,f(n)都能被m整除?如果存在,求出最大的m值;如果不存在,请说明理由. 分析:本题考查利用数学归纳法证明整除问题的方法,求解时可先由f(1),f(2),f(3)的特征,探究出正整数m的值后,再用数学归纳法证明. 解:(1)∵f(n)=(2n+7)·3n+9, ∴f(1)=(2×1+7)×31+9=36, f(2)=(2×2+7)×32+9=3×36=108, f(3)=(2×3+7)×33+9=10×36=360. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 (2)由(1)可以猜想最大的m=36, 下面用数学归纳法证明. ①当n=1时,f(1)=36,显然能被36整除; ②假设n=k(k≥1,k∈N+)时,f(k)能被36整除, 即(2k+7)·3k+9能被36整除, 则当n=k+1时, f(k+1)=[2(k+1)+7]·3k+1+9=[(2k+7)+2]·3k·3+9 =3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1). 由假设可知(2k+7)·3k+9能被36整除,3k-1-1是偶数,∴18(3k-1-1)也能被36整除. ∴f(k+1)能被36整除. 由①和②,可知对任意n∈N+,f(n)都能被36整除. ∴最大的m值为36. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟证明数或式的整除问题的方法 应用数学归纳法证明有关整除问题时,为了利用归纳假设,常常用对通项进行拆项、添项、分解、组合的方法在要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1若n∈N+,求证:xn+1+(x+1)2n-1能被x2+x+1整除. 证明:(1)当n=1时,x1+1+(x+1)2×1-1=x2+x+1,显然x2+x+1能被x2+x+1整除. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时结论成立,即xk+1+(x+1)2k-1能被x2+x+1整除. 当n=k+1时,xk+2+(x+1)2k+1=(x+1)2(x+1)2k-1+xk+2+(x+1)2xk+1-(x+1)2xk+1=(x+1)2[(x+1)2k-1+xk+1]-(x2+x+1)xk+1. 因为上式两项均能被x2+x+1整除, 所以xk+2+(x+1)2k+1能被x2+x+1整除,即n=k+1时,结论也成立. 由(1)和(2),可知xn+1+(x+1)2n-1能被x2+x+1整除. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用数学归纳法证明几何问题 【例2】 在一平面内有n(n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线相互分割出n2条线段或射线. 分析:用数学归纳法证明几何问题,关键要找到本题中从k到(k+1)条直线增加的线段或射线的条数. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明:(1)当n=2时,两条直线相交得到4条射线,命题成立. (2)假设n=k时,k(k≥2)条直线按题目要求相交可得k2