2017-2018学年度高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题练习 新人教A版选修1-1.docVIP

3.4 生活中的优化问题 A级　基础巩固 一、选择题 1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(　A　) [解析]　加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A． 2．(2016·广东东莞高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产x(百万件)的函数关系式y＝－x3＋27x＋123(x0)，则获得最大利润时的年产量为(　C　) A．1百万件　　　 　 B．2百万件 C．3百万件 D．4百万件 [解析]　依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当0x3时，y′0；当x3时，y′0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大． 3．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·()(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为(　B　) A．30　　 B．40　　 C．50　　 D．35 [解析]　V′(x)＝(30x2－)′＝60x－x2，x(0,60)．令V′(x)＝0，得x＝40. 当x＝40时，箱子的容积有最大值． 4．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　D　) A．900元 B．840元 C．818元 D．816元 [解析]　设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底面积为＝16(m2)，箱底另一边的长度为m，则l＝16×15＋(2×3x＋2×3×)×12＝240＋72，l′＝72.令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当0x4时，l′0；当x4时，l′0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元． 5．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x0)，为使利润最大，则应生产(　A　) A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台 [解析]　设利润为y(万元)，则 y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x0)， y′＝36x－6x2， 令y′0，得0x6，令y′0，得x6， 当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台． 6．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为(　C　) A． B． C． D．2 [解析]　如图，设底面边长为x(x0)， 则底面积S＝x2，h＝＝. S表＝x·×3＋x2×2＝＋x2， S′表＝x－，令S′表＝0得x＝， 因为S表只有一个极值，故x＝为最小值点． 二、填空题 7．(2016·山东淄博月考)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__20__吨. [解析]　设该公司一年内总共购买n次货物， 则n＝， 总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x， 令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍)， x＝20是函数f(x)的最小值点，故x＝20时， f(x)最小． 8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为__3__. [解析]　设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋， S′(R)＝2πR－＝0，令S′＝0得R＝3， 当R＝3时，S表最小． 三、解答题 9．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？ [解析]　设水箱底边长为x cm， 则水箱高为h＝60－(cm)． 水箱容积V＝V(x)＝60x2－(0x120)(cm3)． V′(x)＝120x－x2. 令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80. 当x在(0,120)内变化时，导数V′(x)的正负如下表： x (0,80) 80 (80,120) V′(x) ＋ 0 － 因此在x＝80处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值． 将x＝80代入V(x)，得最大容积 V＝802×60－＝128 000(cm3)． 答：水箱底边长取80 cm时，容积最大，最大容积为128 000 cm3. B级　素养提升 一、选择题 1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是