2017-2018学年度高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 习题课3 直线与圆锥曲线的综合问题课件 北师大版选修2-1.pptVIP

-*- 习题课——直线与圆锥曲线的综合问题 一 二 三 一、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离.对应交点个数有两个、一个、无交点.特别注意有一个交点的情况,对于封闭曲线椭圆来说,相切时就只有一个交点;对于双曲线,与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点;对于抛物线,与对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点. 一 二 三 二、与弦有关的问题 圆锥曲线中,与弦有关的题目最常见,问题主要有:(1)已知直线、圆锥曲线方程,求弦长;(2)已知弦长,求圆锥曲线方程或参数;(3)由弦的性质求参数;(4)中点弦所在的直线方程等.解题方法一般为设直线方程,并与曲线方程联立得方程组,化为一元二次方程后,从根与系数的关系,判别式等方面入手求解. 一 二 三 分析:由直线AB过焦点F,倾斜角为 ,可求出直线方程,再由弦长公式即可求出. 解:如图,不妨取椭圆的一个焦点为F(1,0), 代入椭圆方程并整理得19x2-30x-5=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 一 二 三 一 二 三 三、综合问题 由于解析几何是通过代数运算来解决几何问题,而圆锥曲线又以其独特的性质成为研究的重点,这就使圆锥曲线的性质与函数、不等式、数列、三角变换、平面向量等知识联系密切,以圆锥曲线为载体来研究数学问题就成了数学中综合性最强、能力要求最高的高考考点之一. 一 二 三 【做一做2】 已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C. (1)求动点C的轨迹方程; (2)过点F的直线l2交轨迹于P,Q两点,交直线l1于点R,求 的最小值. 解:(1)由题意,知点C到点F的距离等于它到直线l1的距离, ∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线, ∴动点C的轨迹方程为x2=4y. (2)由题意,知直线l2的方程可设为y=kx+1(k≠0). 与抛物线方程联立消去y,得x2-4kx-4=0. 设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4. 一 二 三 探究一 探究二 与弦有关的问题 1.由弦长求曲线方程 【例1】 椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB 思维点拨:利用直线与椭圆的方程联立后的一元二次方程,表示出弦长公式及中点坐标,可得到关于a,b的方程组. 消去y得(a+b)x2-2bx+b-1=0. 因为由题意知a+b≠0, 探究一 探究二 设AB的中点为C(x0,y0), 探究一 探究二 反思感悟利用韦达定理表示出弦长公式,是此类问题的常规解法. 探究一 探究二 (1)求椭圆E的离心率; (2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2= 的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程. 探究一 探究二 解:(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, (2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.① 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得,(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 探究一 探究二 探究一 探究二 2.由弦的性质求参数值 【例2】 设双曲线C: -y2=1(a0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围; 思维点拨:由于直线与双曲线交于两点,所以联立后二次方程中Δ0,可得a的取值范围,从而求得e的范围,利用向量的坐标,转化为二次方程根的问题,求得a的值. 探究一 探究二 解:(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点, 探究一 探究二 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1), 反思感悟解决此类问题时应注意运算能力的培养,以及综合应用知识分析和解决问题的能力及数形结合思想. 探究一 探究二 (1)求此椭圆的方程; (2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 探究一 探究二 探究一 探究二 3.中点弦问题 【例3】 求以(1,-1)为中点的抛物线y2=8x的弦所在直线的方程. 思维点拨:要求过点(1,-1)的弦所在的直线方程,只需求出斜率即可,用“点差法”求直线的斜率. 探究一 探究二 解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2), ∴弦所在直线的方程为y+1=-4(x-1), 即4x+y-3=0. 探究一 探究二 反思感悟圆锥曲线中的中点弦问题,利用点差法是简单而有效的方法. 探究一 探究二 变式训练3已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程. 解:设A(x