2017-2018学年度高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数（二）练习 新人教A版选修1-1.docVIP

3.1 变化率与导数（2） A级　基础巩固 一、选择题 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是(　C　) A．在点x0处的斜率 B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值 C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率 D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率 [解析]　由导数的几何意义可知函数y＝f(x)在x＝x0的导数f ′(x0)，即为曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 2．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为(　B　) A．(－2，－8)　　　　 B．(1,1)，(－1，－1) C．(2,8) D．(－，－) [解析]　y＝x3， y′＝ ＝ ＝ (Δx2＋3x·Δx＋3x2)＝3x2. 令3x2＝3，得x＝±1， 点P的坐标为(1,1)，(－1，－1)． 3．(2016·重庆一中高二月考)已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为(　B　) A．3,3 B．3，－1 C．－1,3 D．－1，－1 [解析]　由已知得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故选B． 4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(　A　) A．y＝x－1 B．y＝－x＋1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2 [解析]　f ′(x) ＝ ＝ ＝ (Δx2＋3x·Δx＋3x2－2) ＝3x2－2， f ′(1)＝3－2＝1，切线的方程为y＝x－1. 5．已知曲线f(x)＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为(　D　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 [解析]　Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－x2－2x＝x·Δx＋(Δx)2＋2Δx， ＝x＋Δx＋2，f ′(x)＝ ＝x＋2. 设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝x0＋2. 由已知x0＋2＝4，x0＝2，故选D． 6．(2016·山东临沂一中高二检测)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　B　) A．0f′(2)f′(3)f(3)－f(2) B．0f′(3)f(3)－f(2)f′(2) C．0f′(3)f′(2)f(3)－f(2) D．0f(3)－f(2)f′(2)f′(3) [解析]　从图象上可以看出f(x)在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0f′(3)f′(2)，此两点处的斜率比f(x)在x＝2处的切线的斜率小，比f(x)在x＝3处的切线的斜率大，所以0f′(3)f(3)－f(2)f′(2)，故选B． 二、填空题 7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f ′(2)＝__12__. [解析]　f ′(2)＝ ＝ ＝[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4] ＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12. 8．设函数y＝f(x)，f ′(x0)0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的范围是　　. [解析]　由于f ′(x0)0，说明y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角． 三、解答题 9．已知曲线方程为y＝x2，求过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程. [解析]　f ′(x)＝ ＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x， 又点A(2,4)在曲线y＝x2上， f ′(2)＝4，所求切线的斜率k＝4， 故所求切线的方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. B级　素养提升 一、选择题 1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　A　) A．1 B． C．－ D．－1 [解析]　y′|x＝1＝ ＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a， 2a＝2，a＝1. 2．(2016·天津南开中学检测)已知抛物线y＝f(x)＝x2与直线y＝2x＋b相切，若f′(x0)＝2，则x0＝(　D　) A．－1 B．2 C．－ D．1 [解析]　由消去y，得x2－2x－b＝0，抛物线y＝x2与直线y＝2x＋b相切，Δ＝4＋4b＝0，解得b＝－1.此时，方程的根为x＝1，切点坐标为(1,1)．由导数的几何意义得f′(1)＝2，x0＝1. 3．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为(　D　) A． B．－ C． D．－ [解析]　由导数的定义可得y′＝3x2， y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3， 由条件知，3×＝－1，＝－. 4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(　C　) A．(1,0) B．(2,8) C．(1,0)或(－1，－4) D．(2