立体几何距离计算中的一些转化策略.pdfVIP

2000 年第 12 期　　　　　　　 　　　中学数学 2 3 立 体 几 何 距 离 计 算 中 的 一 些 转 化 策 略 5630 00　贵州省遵义市四中　游少华 　　 距离计算 是立体几 何 中的一个重 要 内 容, 学生在遇到有关距离计算时, 困难在于无 法构造距离, 无法寻找与距离相关的一些联 系和转化. 事实上, 一般距离都转化成点线距 离, 最后都在平面三角形 中计算. 距离的转化 图 1　　　　　　　　　 图2 成为难点. 距离转化一般有如下形式: 例 2　 已知异面线段A B = a , CD = b , 所 转化 面面距离 转化 成角为 Η, 4 点A 、B 、C、D 构成四面体 的体积为 异面直线距离 点面 线面距离 V , 求异面线段A B 到CD 的距离. 转化 点线距离 ∥ 解　 如 图2, 过B 作B E = CD , 连A E , 则 距离 或等积法直接计算 ∠AB E = Η　 或 　Π- Η. 其 中较 困难 的是最后一步. 我们略举 数 由CD ∥B E , 则 CD ∥ 面A B E. 例, 说 明距离计算中的一些转化策略. CD 到AB 的距离转化为CD 到面A B E 的 1　 异面直线距离的转化 距离. 例 1　 已知正方形A B CD 的边长为4 , E 、 设点C 到面A B E 的距离为 d , 则d 为CD F 分 别 是 边 AB 、A D 的 中 点, GC 垂 直 于 到A B 的距离. A B CD 所在 的平面, 且 GC = 2, 求异面直线 由等积性: V A 2B CD = V A 2B EC = V C 2AB E = V , BD 与 G E 的距离. V C 2AB E = 1 △A BE � d = 1 a b sin Η� d = V , 3 6 解　 连结BD , 由E 、F 分别为A B 、A D 的 6V ∥ 1 则 　　d = . 中点, 知 E F = BD , E F 面 G E F , ab sin Η 2 转化 ∴　BD ∥ 面 G E F. 总结 　CD 到A B 的距离 CD 到面 转化 故B D 与 GE 的距离为线B D 到面 G E F A B E 的距离 点C 到面AB E 的距离. 的距离. 连结A C 交BD 于 O , 交 E F 于H . 2　 点面距离的构造与转化 因GC ⊥ 面A B CD , E F ⊥H C , 则 E