浙江师范大学《高等数学》8-1向量及其线性运算.pptVIP

一、向量的概念 二、向量的线性运算 2. 向量的减法 3. 向量与数的乘法 定理1. 三、空间直角坐标系 在直角坐标系下 2. 向量的坐标表示 四、利用坐标作向量的线性运算 例2. 例3. 已知两点 说明: 由 五、向量的模、方向角、投影 例4. 求证以 例5. 在 z 轴上求与两点 提示: 2. 方向角与方向余弦 例7. 已知两点 例8. 设点 A 位于第一卦限, 3. 向量在轴上的投影 例9. 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 第八章 向量代数与空间解析几何 向量及其线性运算 数量积、向量积 平面及其方程 空间直线及其方程 曲面及其方程 空间曲线及其方程 第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 向量（矢量）： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 模长为1的向量. 零向量： 模长为0的向量. | | 向量的模： 向量的大小. 单位向量： 或 或 位移、速度、加速度、力、力矩等等 有时也用黑体字母来表示 起点和终点重合，方向可以看做是任意的. 有向线段的长度 有向线段的方向表示向量的方向. 自由向量： 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 向径： 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量 在这里我们只研究与起点无关的向量，即只考虑大小和方向. 平移后能完全重合的向量. 不考虑起点位置的向量. O A B a b φ 向量夹角： 设有两个非零向量a，b，任取空间一点O，作OA=a，OB=b. 规定不超过π的∠AOB称为向量a与b的夹角。 记作：(a,b)或(b,a),即 (b,a)=φ 如果向量a和b中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在0到π之间任意取值。 如果：(a,b)=0或π，则称向量a与b平行，记作： a b 如果：(a,b)=π/2，则称向量a与b垂直，记作： a b 零向量与任何向量都平行，也可认为零向量与任何向量都垂直. 两平行向量的起点放在同一点，它们的终点和公共起点应该在一条直线上，因此，两向量平行，又称两向量共线 共面：设有k个向量，把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向量共面 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 三角形法则：以前一个向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量，最后以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和 三角不等式（三角形两边之和大于第三边） 从向量a的终点向向量b的终点所引向量就是向量b与a的差. 向量a与向量b同向或反向时取等号. 可见 ? 是一个数 , 规定 : 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) 证: “ ”. , 取 ?＝± 且 再证数 ? 的唯一性 . 则 a∥b 设 a∥b 反向时取负号, , a , b 同向时取正号 则 b 与 ? a 同向, 设又有 b＝? a , 必要性. 向量λa与向量b同向. 向量λa与向量b模相等. “ ” 则 已知 b＝? a , b＝0 a , b 同向 a , b 反向 a∥b 定理1是建立数轴的理论依据. 给定一个点、一个方向及单位长度就确定了一条数轴. 由于单位向量既确定了方向，又确定了单位长度，所以给定一个点和一个单位向量就确定了一条数轴. 充分性. 设点O及单位向量i确定了数轴Ox， O x P i 1 对于轴上任一点P，对应一个向量OP，由于OP平行于i，必有唯一的实数x，使得OP=xi. 实数x：轴上有向线段OP的值. OP=xi 点P 实数x 从而，轴上的点P与实数x有一一对应关系.所以，实数x为轴上P点的坐标. 所以，轴上点P的坐标为x的充分必要条件是OP=xi. 向量OP与实数x存在一一对应关系. Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三个两两垂直的单位向量i、j、k，就确 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 O , 坐标面 卦限(八个) 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ zOx面 j k i 定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴， 它们的正向符合右手规则. 以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是Z轴的正向. oxyz坐标系或者[o;I;j;k]坐标系. 向量 坐标轴上的点 P, Q , R ;