浙江师范大学《高等数学》D9_1基本概念.pptVIP

四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 二 元函数 的定义域为 D， 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续， 为D的聚点，且 则称 函数 或称f(x,y)是D 上的连续函数. 连续, 如果 定义4. 设 二 元函数 的定义域为 D， 为D的聚点，且 此时 称为函数f(x,y)的间断点 . 在点P0不连续， 如果函数f(x,y) 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续. 例6. 设f(x,y)=sinx，证明f(x,y)是R2上的连续函数. 证: 由于sinx在x0处连续， 故存在δ0，当 时，有 以上述δ做P0的δ领域U(P0,δ),则当 从而， 即sinx在点P0处连续， 由P0的任意性知，sinx作为x,y的二元函数在R2上连续. 解: 例7.求 该函数是初等函数，它的定义域为： P0(1,2)为D的内点，故有U(P0)是f(x,y)的一个定义域，因此： 一般地，求极限 如果f(P)是初等函数， 且P0是f(P)定义域的内点，那么f(P)在P0处连续，有： 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 * (4) f (P) 必在D 上一致连续 . 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 对任意 (有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: (证明略) 解: 原式 例8.求 例9. 求函数 的连续域. 解: 内容小结 1. 区域 邻域 : 区域 连通的开集 2. 多元函数概念 n 元函数 常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 有 3. 多元函数的极限 4. 多元函数的连续性 1) 函数 2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续 P64 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P133 题 3; *4 思考与练习 解答提示: P64 题 2. 称为二次齐次函数 . P65 题 4. P65 题 5(3). 定义域 P65 题 5(5). 定义域 P65 题 8. 间断点集 P133 题 3. 定义域 P133 题 *4. 令 y= k x ， 若令 , 则 可见极限 不存在 P65 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6) 作 业 备用题 1. 设 求 解法1 令 1 . 设 求 解法2 令 即 2. 证明 在全平面连续. 证: 为初等函数 , 故连续. 又 故函数在全平面连续 . 由夹逼准则得 画图说明 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 第九章 多元函数微分法及其应用 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 第一节多元函数的基本概念 一、平面点集 坐标平面： 把这种建立了直角坐标系的平面 直角坐标平面上的点 有序实数组 二元有序实数组 的全体，即 就表示坐标平面. 如果，以点P表示(x , y)，|OP|表示点P到原点O的距离，那么集合也可表示成： = 如：平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 坐标平面上具有某种性质p的点的集合称为平面点集，记作 邻域： xoy平面上以P0为中心，δ0为半径的圆内部的点P(x,y)的全体. 点集 称为点 P0 的? 邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 平面点集 设 为坐标平面 上的一点， 那么， 点 与 集 之间有怎样的 关系？ 只有下面三种关系. 下面用领域来描述点和点集之间的关系. 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? , ? 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 例 ,求 的内点和边界点 (1)满足 的点都是E的内点; (2)满足 的点