浙江师范大学《高等数学》8-3平面及其方程.pptVIP

一、曲面方程与空间曲线方程的概念 定义1. 例1. 求动点到定点 例2. 研究方程 二、平面的点法式方程 例1.求过点（2,-3,0）且以n=（1,-2,3）为法线向量的平面的方程 例2.求过三点 说明: 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 三、平面的一般方程 设有三元一次方程 特殊情形 例3. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 四、两平面的夹角 特别有下列结论： 例4. 求两平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角. 例5. 一平面通过两点 例6. 设 内容小结 思考与练习 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 三、平面的一般方程 一、曲面方程与空间曲线方程的概念 二、平面的点法式方程 第三节 平面及其方程 四、两平面的夹角 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程. 化简得： 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 解:设轨迹上的动点为 A B 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 故所求方程为： 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹方程. 表示上(下)球面 . 解: 配方得 可见此方程表示一个球面 说明:如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 空间曲线的一般方程 空间曲线可看作两曲面S1，S2的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C 曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程. 如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组. 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. ① 设一平面通过已知点 且垂直于非零向量 称①式为平面?的点法式方程, 求该平面?的方程. 法向量. 则有 故 解: 根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为： 即 解: 取该平面? 的法向量为： 的平面 ? 的方程. 利用点法式得平面 ? 的方程 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 : 过三点 的平面方程为 此式称为平面的截距式方程. abc依次叫做平面在xyz轴上的截距. 时, 平面方程为 分析: 利用三点式 按第一行展开得 即 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般方程. 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程②与此点法式方程等价, ② 的平面, 方程②的图形是过点(x0,y0,z0） 法向量为 其中xyz的系数就是该平面的一个法向量n的坐标. ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xOy 面 的平面; 平行于 yOz 面 的平面； 平行于 zOx 面 的平面. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角? 的余弦为 即 两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角. 解: 由两平面夹角公式： 所以所求夹角为： 因此有 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C , 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 外一点,求 解:设平面法向量为 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . ,则P0 到平面的距离为 (点到平面的距离公式) 1.平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 三点式 2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: P29 题4 , 5, 8 作业 P29 2