浙江师范大学《高等数学》D9_4复合求导.pptVIP

内容小结 思考与练习 P134 题 11 备用题 2. 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 多元复合函数的求导法则 第九章 一、一元函数与多元函数复合情形 定理1. 若函数 处具有连续偏导数, 在点 t 可导, 则复合函数 且有链式法则 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 口诀 : ( 全导数公式 ) Z在点t可导，且其导数可用下式计算. 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,则函数相应获得全增量Δz，由于函数z在点(u,v)具有连续的偏导数，全增量可表示为： 例如: 易知: 但复合函数 若定理中 说明: 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 则定理结论不一定成立. 推广：中间变量多于两个的情形. 例如, 与定理相类似的条件下，有： 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 定理2: 中间变量是多元函数的情形. 例如, 二、多元函数与多元函数复合情形 函数u和v在点(x,y)具有对xy的偏导数，函数z在对应点(u,v)具有连续偏导数,则有复合函数z的两个偏导数都存在，且： 推广：中间变量多于两个的情形. 例如, 与定理相类似的条件下，有： 定理3: 其实是2）的特殊情况，变量v与x无关. 由于v=ψ(y)是一元函数. 函数u在点(x,y)具有对x、y的偏导数，函数v在点y可导，函数z在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z的两个偏导数都存在，且： 特殊：复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 表示 f ( x, ? ( x, y ) )固定 y 对 x 求导. 表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导. 与 不同, 例1. 设 解: 例2. 解: 例3. 设 求全导数 解: 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 为简便起见 , 引入记号 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令 则 (当 在二、三象限时, ) 例5. 设 二阶偏导数连续,求下列表达式在 解: 已知 极坐标系下的形式 (1) , 则 已知 注意利用 已有公式 同理可得 二、全微分形式不变性 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. 例1 . 例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: 所以 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, 2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是中间变量, 作业 P85 2; 4; 6; 9; 11; 解答提示: P85 题7 P85 题7; 8(2); P134 题11 …… P85 题8(2) ① ② 1. 已知 求 解: 由 两边对 x 求导, 得 求 在点 处可微 , 且 设函数 解: 由题设 (2001考研) 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 注意利用已有公式求导.