浙江师范大学《高等数学》D9_2偏导数.pptVIP

定义. 同样可定义对 y 的偏导数 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 注意： 例5. 求函数 例如, 例6. 证明函数 定理. 内容小结 思考与练习 P133 题6 作业 备用题 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 第二节 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 中的 x 固定于 x0 处, 求 一阶导数与二阶导数. 关于 t 的 将振幅 如果只有自变量x变化，而自变量y固定（看做常数），则函数z=f(x,y)就是x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数z对x的偏导数. 在点 存在, 的偏导数，记为 的某一邻域内 则称此极限为函数 有定义，当y固定在y0 ，而x在x0处有增量 时，如果 设函数 注意: 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 或 y 偏导数存在 , 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为 (请自己写出) 例1 . 求 解法1：把y看作常量，得 解法2 在点(1 , 2) 处的偏导数. 先求后代 先代后求 例2. 设 证: 例3. 求 的偏导数 . 解: 求证 偏导数记号是一个 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: 证: 说明: (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 对一元函数，dy/dx，可以看做是函数的微分dy与自变量的微分dx的商. 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, 但在该点不一定连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 对于一元函数在一点可导，那么它在该点必定连续. 只能保证沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值趋于f(P0). 不能保证点P以任何方式趋于P0时，函数值都趋于f(P0). 二、高阶偏导数 设 函数z = f (x , y)在区域 D 内具有偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 混合偏导数 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为 解 : 注意:此处 但这一结论并不总成立. 的二阶偏导数及 二者不等 满足拉普拉斯 证： 利用对称性 , 有 方程 则 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明: 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 而初等 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 解答提示: P133 题 5 P133 题 5 , 6 即 x＝y＝0 时, (1) (2) P71 1（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2） 设 方程 确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 求 解: 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 运行时, 点击按钮“证明”, 或“(证明略)”, 将显示定理的证明过程, 证明结束自动返回. * *