2017届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.3.1抛物线的标准方程对点训练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.3.1 抛物线的标准方程对点训练 理 1.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)A．1 B．2 C．4 D．8 答案　A 解析　由y2＝x得2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线方程为l：x＝－，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋＝x0，解得x0＝1，故选A. 2．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是(　　) A．y2＝－16x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝－12x 答案　C 解析　由题设知直线3x－4y－12＝0与x轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点，故其方程为y2＝16x. 3．若抛物线y2＝2px(p0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________. 答案　2 解析　y2＝2px的准线方程为x＝－，又p0，所以x＝－必经过双曲线x2－y2＝1的左焦点(－，0)，所以－＝－，p＝2. 4．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________． 答案　1.2 解析　建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x2＝2py(p0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p＝，抛物线方程为x2＝y，所以当前最大流量对应的截面面积为2dx＝，原始的最大流量对应的截面面积为＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为＝1.2. 5．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p0)经过C，F两点，则＝________. 答案　1＋ 解析　由题意，知C，F. 又C，F在抛物线y2＝2px(p0)上， 所以由②÷①，得＝， 即b2－2ba－a2＝0， 解得＝1±(负值舍去)．故＝1＋. 6．已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|. (1)求C的方程； (2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程． 解　(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝. 所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋. 由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以C的方程为y2＝4x. (2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故AB的中点为D(2m2＋1,2m)， |AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)． 又l′斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3. 将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0. 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)． 故MN的中点为E＋2m2＋3，－，|MN|＝ |y3－y4|＝. 由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2， 即4(m2＋1)2＋2＋2 ＝， 化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1. 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 3