2017届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5.2圆锥曲线的综合应用对点训练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5.2 圆锥曲线的综合应用对点训练 理 1．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·0，则y0的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知a2＝2，b2＝1，所以c2＝3，不妨设F1(－，0)，F2(，0)，所以＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，所以·＝x－3＋y＝3y－10，所以－y0，故选A. 2．设双曲线－＝1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　) A．(－1,0)(0,1) B．(－∞，－1)(1，＋∞) C．(－，0)(0，) D．(－∞，－)(，＋∞) 答案　A 解析　如图所示，由题意知BC为双曲线的通径，所以|BC|＝，则|BF|＝.又|AF|＝c－a，因为BDAC，DCAB，所以点D在x轴上，由RtBFA∽Rt△DFB，得|BF|2＝|AF|·|FD|，即2＝(c－a)·|FD|，所以|FD|＝，则由题意知a＋，即a＋c，所以b4a2(c－a)(a＋c)，即b4a2(c2－a2)，即b4a2b2，所以01，解得01，而双曲线的渐近线斜率为±，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1,0)(0,1)，故选A. 3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)A. B. C．3 D．2 答案　A 解析　解法一：设椭圆长半轴为a1，双曲线实半轴长为a2，|F1F2|＝2c. 由余弦定理4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos. 而|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2，可得a＋3a＝4c2.令a1＝2ccosθ，a2＝sinθ， 即＋＝2cosθ＋sinθ＝2 ＝＝sin 故最大值为，故选A. 解法二：不妨设P在第一象限，|PF1|＝m，|PF2|＝n.在PF1F2中，由余弦定理得m2＋n2－mn＝4c2.设椭圆的长轴长为2a1，离心率为e1，双曲线的实轴长为2a2，离心率为e2，它们的焦距为2c，则＋＝＝＝. 2＝＝＝，易知2－＋1的最小值为.故max＝.故选A. 4.已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； (2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． 解　(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝. 于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9. 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB能为平行四边形． 因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k≠3. 由(1)得OM的方程为y＝－x. 设点P的横坐标为xP. 由得x＝，即xP＝. 将点的坐标代入直线l的方程得b＝，因此xM＝.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM. 于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.因为ki0，ki≠3，i＝1,2，所以当直线l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形． 5. 已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称． (1)求实数m的取值范围； (2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)． 解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋0， 设M为AB的中点，则M， 代入直线方程y＝mx＋ 解得b＝－. 由得m－或m. (2)令t＝∪，则 |AB|＝·， 且O到直线AB的距离d＝. 设AOB的面积为S(t)，所以 S(t)＝|AB|·d＝ ≤， 当且仅当t2＝时，等号成立． 故AOB面积的最大值为. 6．已知椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M. (1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)； (2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是