2017届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.3.2抛物线的几何性质对点训练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.3.2 抛物线的几何性质对点训练 理 1．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是(　　) A.　　　 　B. C. D. 答案　A 解析　由题可知抛物线的准线方程为x＝－1.如图所示，过A作AA2y轴于点A2，过B作BB2y轴于点B2，则＝＝＝. 2.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　) A. B．3 C. D．2 答案　B 解析　如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝4. 过Q作QHl于H，则|QH|＝|QF|. 由题意，得PHQ∽△PMF， 则有＝＝，|HQ|＝3. |QF|＝3. 3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ 答案　C 解析　由点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，得焦点F(2,0)，kAF＝＝－，故选C. 4．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　C 解析　设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相交知4r，因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，所以r＝|FM|＝y0＋24，所以y02.故选C. 5．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________． 答案　 解析　由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线的焦点坐标为F.不妨设点A在第一象限，由，解得或，故A.所以kAF＝＝.由已知F为OAB的垂心，所以直线AF与另一条渐近线垂直，故kAF·＝－1，即×＝－1，整理得b2＝a2，所以c2＝a2＋b2＝a2，故c＝a，即e＝＝. 6．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________． 答案　x＝－2 解析　c2＝9－5＝4，c＝2.椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，＝2，抛物线的准线方程为x＝－2. 7．已知A是抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，直线FA交抛物线的准线于点B(点B在x轴上方)，若|AB|＝2|AF|，则点A的坐标为________． 答案　(3，－2)或 解析　依题意，若点A位于x轴上方，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足记为A1，则有|AB|＝2|AF|＝2|AA1|，BAA1＝60°，直线AF的倾斜角为120°.又点F(1,0)，因此直线AF：y＝－(x－1)． 由得，此时点A的坐标是.若点A位于x轴下方，则此时点F(1,0)是线段AB的中点，又点B的横坐标是－1，故点A的横坐标是2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是y＝－＝－2，点A的坐标是(3，－2)．综上所述，点A的坐标是(3，－2)或. 8．已知ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3. (1)若|PF|＝3，求点M的坐标； (2)求ABP面积的最大值． 解　(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1. 设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P(2，2)或P(－2，2)． 由＝3，分别得M或M. (2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)． 由得x2－4kx－4m＝0. 于是Δ＝16k2＋16m0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， 所以AB中点M的坐标为(2k,2k2＋m)． 由＝3，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)， 所以由x＝4y0得k2＝－m＋. 由Δ0，k2≥0，得－m≤. 又因为|AB|＝4·， 点F(0,1)到直线AB的距离为d＝. 所以SABP＝4SABF＝8|m－1| ＝ . 记f(m)＝3m3－5m2＋m＋1. 令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0，解得m1＝，m2＝1. 可得f(m)在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．又f＝f. 所以，当m＝时，f(m)取到最大值，此时k＝±. 所以，ABP面积的最大值为. 9．设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. (1)求