2017届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1.2椭圆的几何性质对点训练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.1.2 椭圆的几何性质对点训练 理 1．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________． 答案　2＋y2＝ 解析　由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a0，由4－a＝，解得a＝，所以该圆的标准方程为2＋y2＝. 2.过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．答案　 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＋＝1， ＋＝1. ①、两式相减并整理得＝－·. 把已知条件代入上式得，－＝－×， ＝，故椭圆的离心率e＝＝. 3．已知椭圆C：＋＝1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cosABF＝，则C的离心率e＝________. 答案　 解析　如图，设右焦点为F1，|BF|＝x，则cosABF＝＝. 解得x＝8，故AFB＝90°.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，且FAF1＝90°，FAF1是直角三角形，|F1F2|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，e＝＝. 4．设椭圆E的方程为＋＝1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为. (1)求E的离心率e； (2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程． 解　(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝. (2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1， 从而有 解得b＝3.所以a＝3， 故椭圆E的方程为＋＝1. 5．如图，椭圆＋＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1. (1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e. 解　(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2. 设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2， 因此2c＝|F1F2|＝ ＝ ＝2， 即c＝，从而b＝＝1. 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)解法一：连接QF1，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1PF2，则＋＝1，x＋y＝c2， 求得x0＝±，y0＝±. 由|PF1|＝|PQ||PF2|得x00，从而|PF1|2＝2＋＝2(a2－b2)＋2a＝(a＋)2. 由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a. 从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|. 又由PF1PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|， 因此(2＋)|PF1|＝4a，即(2＋)(a＋)＝4a， 于是(2＋)(1＋)＝4，解得 e＝ ＝－. 解法二：连接QF1，如上图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|. 又由PF1PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝|PF1|. |PF1|＝2(2－)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a. 由PF1PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2， 因此e＝＝＝ ＝ ＝－. 6.已知椭圆E：＋＝1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c. (1)求椭圆E的离心率； (2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程． 解　(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝， 由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝. (2)解法一：由(1)知，椭圆E的方程为 x2＋4y2＝4b2. 依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝. 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入得 (1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－， x1x2＝. 由x1＋x2＝－4，