2017届高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.3.1函数的奇偶性对点训练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.3.1 函数的奇偶性对点训练 理 1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　) A．y＝cosx B．y＝sinx C．y＝ln x D．y＝x2＋1 答案　A 解析　y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A. 2．若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞) 答案　C 解析　f(－x)＝2－x＋12－x－a＝2x＋11－a·2x，由f(－x)＝－f(x)得2x＋11－a·2x＝－2x＋12x－a，即1－a·2x＝－2x＋a，化简得a·(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝2x＋12x－1.由f(x)3得0x1.故选C. 3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案　C 解析　令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数， ∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)， 即f(1)＋g(1)＝1.故选C. 4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　) A.－\f(116) B.－\f(\r(6\r(66) C.－\f(113) D.－\f(\r(3\r(33) 答案　B 解析　当x≥0时， f(x)＝x－3a2，x≥2a2，－a2，a2x2a2，－x，0≤x≤a2，画出图象，再根据f(x)是奇函数补全图象． ∵满足?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则只需3a2－(－3a2)≤1， ∴6a2≤1，即－6)6≤a≤6)6，故选B. 5．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　) A．ex－e－x B.12(ex＋e－x) C.12(e－x－ex) D.12(ex－e－x) 答案　D 解析　因为f(x)＋g(x)＝ex①，则f(－x)＋g(－x)＝e－x，即f(x)－g(x)＝e－x②，故由①－②可得g(x)＝12(ex－e－x)，所以选D. 6.若函数f(x)＝xln (x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________. 答案　1 解析　解法一：由题意得f(x)＝xln (x＋a＋x2)＝f(－x)＝－xln (a＋x2－x)，所以a＋x2＋x＝1\r(a＋x2)－x，解得a＝1. 解法二：由f(x)为偶函数有y＝ln (x＋a＋x2)为奇函数，令g(x)＝ln (x＋a＋x2)，有g(－x)＝－g(x)，以下同解法一． 7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为________． 答案　(－5,0)∪(5，＋∞) 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0. 又当x0时，－x0，∴f(－x)＝x2＋4x. 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－x2－4x(x0)， ∴f(x)＝x2－4x，　　　x0，0， x＝0，－x2－4x， x0. ①当x0时，由f(x)x得x2－4xx，解得x5； ②当x＝0时，f(x)x无解； ③当x0时，由f(x)x得－x2－4xx，解得－5x0. 综上得不等式f(x)x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)． 8．已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数． (1)证明：f(x)是R上的偶函数； (2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围； (3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)a(－x30＋3 x0)成立．试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论． 解　(1)证明：因为对任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数． (2)由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立， 令t＝ex(x0)，则t1， 所以m≤－t－1t2－t＋1＝－11t－1对任意t1成立． 因为t－1＋1t－1＋1≥21t－1)＋1＝3，所以－11t－1≥－13，当且仅当t＝2，即x＝ln 2时等号成立． 因此实数m的取值范围是\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(13)). (3)令函数g(x)＝