高中数学总复习第二轮专题六 6.3 解析几何的综合问题.docVIP

§6.3 解析几何的综合问题 考点核心整合 解析几何考查的重点是圆锥曲线，在历年的高考中，占解析几何总分值的四分之三以上.解析几何的综合问题也主要以圆锥曲线为载体，通常从以下几个方面进行考查： 位置问题.直线与圆锥曲线的位置关系问题，是解析几何研究的重点内容.常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题.其解法是充分利用方程思想以及韦达定理. 最值问题.最值问题是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容.其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值. 范围问题.范围问题主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识. 以上这些问题由于综合性较强，所以备受命题者的青睐.常用来综合考查学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等多方面的能力. 考题名师诠释 【例1】若双曲线-y2=1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的,则m=( ) A. B. C. D. 解析：∵到准线的距离是到左焦点距离的，∴e=3,即=3,∴m=. 答案：C 【例2】已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线左支上的一点，P到左准线的距离为d. (1)若双曲线的一条渐近线是y=x,问是否存在点P使d,｜PF1｜,｜PF2｜成等比数列？若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由； (2)在已知双曲线的左支上使d,｜PF1｜,｜PF2｜成等比数列的点P存在时，求离心率e的取值范围. 解：(1)法一：由y=x是渐近线，得=, c2=a2+b2=4a2,∴e=2, 设P点的坐标为(x0,y0),由双曲线的第二定义，得｜PF1｜=ed=2d,｜PF2｜=e(-x0),d=--x0, ∴e2d2=d·e(-x0), 化简得2(--x0)=-x0 解得x0=-＜-a,∴点P存在. 法二：同解法一得,｜PF1｜=ed=2d, ∴｜PF2｜=2a+｜PF1｜=2a+2d, 又∵｜PF1｜2=d·｜PF2｜，∴有4d2=d·(2a+2d)解得d=a, 又∵dmin=--(-a)=a-=a-=,d=a＞, ∴存在点P，使d,｜PF1｜,｜PF2｜成等比数列. (2)法一：由(1)得d=--x0,｜PF1｜2=d·｜PF2｜∴有e2d2=d·e(-x0),∴ed=-x0 即e(--x0)=(-x0), 解得x0=≤-a,∴1＜e≤1+. 法二：由==e,可得｜PF2｜=e｜PF1｜, 又｜PF2｜-｜PF1｜=2a,∴｜PF1｜=,｜PF2｜=. ∵｜PF1｜+｜PF2｜≥｜F1F2｜,而｜F1F2｜=2c=2ea, ∴≥2ea, 又∵a＞0,e＞1,∴e2-2e-1≤0，解得1＜e≤1+. 法三：由(1)得e2d2=d(2a+ed). 解得d=≥dmin=-+a, ∴有e2-2e-1≤0，解得1＜e≤1+. 点评：确定某几何量的值域或取值范围，一般需要建立起方程或不等式，因此，要树立用方程和不等式的解题思路.与圆锥曲线有关的参数范围问题的讨论常用的两种方法：①不等式(组)求解法；②函数值域求解法. 本题要注意双曲线的离心率e＞1,否则所得答案就不完整. 【例3】已知动点P与双曲线-=1的两个焦点F1、F2的距离之和为定值2a(a＞)，且cos∠F1PF2的最小值为-. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上，且=λ，求实数λ的取值范围. 解： (1)由题意知c2=5, 设|PF1|+|PF2|=2a(a＞)，由余弦定理得cos∠F1PF2 =-1. 又|PF1|·|PF2|≤()2=a2, 当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|·|PF2|取最大值，此时cos∠F1PF2取最小值-1, 令-1=-a2=9. ∵c=,∴b2=4. 故所求点P的轨迹方程为+=1. (2)设N(s,t)、M(x,y)，则由=λ，可得(x,y-3)=λ(s,t-3)，故x=λs,y=3+λ(t-3), ∴M、N在动点P的轨迹上.故=1且=1. 消去s得=1-λ2, 解得t=.又|t|≤2, ∴||≤2.解得≤λ≤5. 故λ的取值范围是［，5］. 评述：本题考查了解析几何的基本方法以及解析几何与三角、不等式、向量的联系，是在知识的交汇点处命题的充分体现，体现了高考命题的方向. 【例4】设P1(x1,y