高中总复习第一轮数学 (新人教A)第十五章复数（理）15.1 复数的概念与运算.docVIP

第十五章 复数(理) 网络体系总览 考点目标定位 1.复数的概念. 2.复数的加法和减法. 3.复数的乘法和除法. 4.数系的扩充. 复习方略指南 本章主要内容是复数的有关概念、代数形式、向量表示以及复数的运算法则.从近几年的高考试题看，对复数的要求呈下降趋势，试题考查的重点仍是基本概念和运算,为此建议复习中注意以下几点: 1.在复习中，应注意理解和掌握复数的基本概念，特别是虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模等. 2.应重视数形结合的思想方法在解题中的应用. 3.所选习题应突出概念、运算，以中、低档难度的选择题和解答题为主，并注意转化思想的应用.复数问题常转化为实数问题处理. 15.1 复数的概念与运算 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.i叫虚数单位,满足(1)i2=-1;(2)实数可以与i进行四则运算,原有的加、乘运算律仍然成立,它具有周期性,表现为i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈Z). 2.形如a+bi(a、b∈R)叫复数,a叫实部,b叫虚部,当b=0时,a+bi(a、b∈R)是实数;当b≠0时,a+bi是虚数;当a=0,b≠0时,a+bi(a、b∈R)是纯虚数. 3.复数可以用向量表示.用点Z(a,b)表示复数z=a+bi(a、b∈R),复数与复平面上的点一一对应,这是复数的几何意义. 4.a、b、c、d∈R时,a+bi=c+dia=c且b=d,两个虚数不能比较大小. 5.两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,用表示,当z∈Rz=;当z≠0时,z为纯虚数z+=0;对于任意复数z均有z+∈R,|z|2=||2=z·.利用这些结论,往往可以使问题得到简洁明快的解决. 6.z=a+bi(a、b∈R),则|z|=叫复数的模.它的几何意义是复数z对应的点到原点的距离. 二、点击双基 1. i-2的共轭复数是( ) A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i 解析:由共轭复数的定义知选D. 答案:D 2.复数等于( ) A.i B.-i C.2-i D.-2+i 解析:原式==i. 答案:A 3.若复数(a∈R)是纯虚数,则实数a的值为（ ） A.-2 B.4 C.-6 D.6 解析: ==(a+6)+(3-2a)i. ∵是纯虚数, ∴ ∴a=-6. 答案:C 4.在复平面内,z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i所对应的点在实轴负半轴上,则实数m的取值为______ _____________. 解析:由题意知z∈R且z0, ∴∴m=1. 答案:1 5.下列命题中: ①任意两个确定的复数都不能比较大小； ②若｜z｜≤1，则-1≤z≤1； ③若z12+z22=0,则z1=z2=0； ④z+=0z为纯虚数； ⑤z=z∈R. 其中正确的命题是_________________________. 解析:①中的两个实数可比较大小，②中的z可为虚数，③中的z1=i,z2=1,④中的z=0. 答案:⑤ 诱思·实例点拨 【例1】 设关于x的方程是x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0. (1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根; (2)证明对任意θ≠kπ+(k∈Z),方程无纯虚数根. 剖析:(1)对于复数方程存在实根的问题,一般可先设出实根,然后再利用复数相等的条件求解. (2)直接证明有困难时,可用反证法. (1)解:设实数根为α,则α2-(tanθ+i)α-2(2+i)=0, 即α2-tanθ·α-2-(α+1)i=0. ∴ 又θ∈(0,),∴θ=,α=-1. (2)证明:若方程有纯虚数根βi(β∈R,β≠0),则(βi)2-(tanθ+i)·(βi)-(2+i)=0. ∴ 此方程组无解, ∴原方程没有纯虚数根. 讲评:对于虚系数一元二次方程,不可用判别式Δ来判断方程根的实虚,而应该用复数相等的条件转化为实数方程进行讨论. 【例2】设复数ｚ=lｇ(ｍ2-2ｍ-2)+(ｍ2+3ｍ+2)ｉ，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限? 剖析:利用复数的有关概念易求得. 解:(1)由得ｍ=3