高中数学总复习第二轮极限、导数与复数(理)9.3 复数的运算.docVIP

§9.3 复数的运算 考点核心整合 1.复数的基本概念,复数为虚数、纯虚数的条件,复数模的性质,复数相等条件的运用等. 2.下述结果的变形运用:(1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N)；(2)(1±i)2=±2i,=-i,=i；(3)设ω=-+i,则ω3=1,ω2=,1+ω+ω2=0. 3.复数问题与相关知识的转化:(1)利用复数的代数形式z=x+yi(x、y∈R)、模的计算公式、代数运算等把复数问题转化为实数范围内的代数问题；(2)利用|z|的几何意义,将复数问题转化为平面几何问题. 4.强调数学思想的训练 (1)转化思想；(2)分类讨论思想；(3)数形结合思想. 链接·提示 数的概念扩展为复数后,实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了.如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等. 考题名师诠释 【例1】复数z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i(m∈R),若z1+z2是虚数,求m的取值范围. 分析：z1+z2是虚数,需z1+z2的虚部不为0,故需化简z1+z2为a+bi型(a、b∈R). 解：∵z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i, ∴z1+z2=-2+(m2-2m-15)i(m∈R). ∵z1+z2为虚数,∴m2-2m-15≠0且m+2≠0. ∴m∈R且m≠5,m≠-3且m≠-2. 评述：(1)z1+z2是虚数,需虚部不为零,同时要注意实部、虚部中若含分母,一定要使分母不为零； (2)涉及复数的概念的题目,常需把复数化成代数形式a+bi(a、b∈R). 【例2】已知虚数z满足∈R，且z+1的实部与虚部相等且都大于0，求z. 解：由题意可设z+1=x+xi(x＞0) ∴z=(x-1)+xi 则= = 令x2-2x=0得x=0或x=2 因x＞0,∴x=0舍去，故得x=2,z=1+2i. 【例3】已知z=1+i，如果=1-i，求实数a、b的值. 解：∵z=1+i, ∴= =(a+2)-(a+b)i =1-i, ∴∴ 反思：若干个复数进行四则运算，最终总可以化为a+bi(a,b∈R)的形式，则虚、实部可见. 链接·拓展 关于x的方程2x2+3ax+a2-a=0至少有一个模等于1的根,求实数a的值. 解:(1)若两根均为实数,则其中至少有一个根为1或-1. 若x=1,则a2+2a+2=0,Δ=4-80无解； 若x=-1,则a2-4a+2=0,∴a=2±. (2)若两根均为虚数,则它们互为共轭,且两根之积为1.∴=1.解得a=-1或a=2,但a=2时,方程有实根,故a=2舍去. 综上,得a=-1或a=2±.