高中数学总复习第二轮专题四 4.2 平面向量的应用.docVIP

§4.2 平面向量的应用 考情动态分析 1.本课时主要知识点有:线段的定比分点坐标公式和线段中点坐标公式、平移公式、解三角形. 重要公式有:x=及a2=b2+c2-2bccosA. 2.应注意的问题:求分点坐标时,要正确求出λ的值;“已知两边和其中一边的对角”,用正弦定理求解另一边的对角时，解的个数为一或二都有可能；用平移公式要分清平移前后的点的坐标.a=(h,k)为平移向量,当h0时,表示点向右平移h个单位,k0时,表示点向上平移k个单位. 考题名师诠释 【例1】以O为原点，所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系.设·=1，点F的坐标为(t，0)，t∈［3，+∞)，点G的坐标为(x0，y0). (1)求x0关于t的函数x0=f(x)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断； (2)设△OFG的面积S=t，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当||取得最小值时椭圆的方程； (3)在(2)的条件下，若点P的坐标为(0，92)，C、D是椭圆上的两点，且=λ(λ≠1)，求实数λ的取值范围. 解：(1)由题意，=(x0-t，y0)，=(t，0)， 则·=t(x0-t)=1，∴x0=f(t)=t+. 设3≤t1＜t2，则f(t2)-f(t1)=(t2+)-(t1+)=. ∵t2-t1＞0，t1t2-1＞0，t1t2＞0，∴f(t2)-f(t1)＞0，f(t2)＞f(t1)， ∴f(t)在［3，+∞)上单调递增. (2)由S=|||y0|=t·|y0|=t，得y0=±， ∴点G的坐标为(t+，±)，||2=(t+)2+. ∵f(t)在［3，+∞］上单调递增， ∴当t=3时，||取得最小值，此时F、G的坐标分别是(3，0)、(，±). 由题意设椭圆方程为=1，由点G在椭圆上得=1，解得b2=9， ∴所求椭圆方程为=1. (3)方法1：设C、D的坐标分别为(x，y)、(m，n)，则=(x，y-)，=(m，n-). 由=λ，得(x，y-)=λ(m，n-)，x=λm，y=λn-λ+. ∵C、D在椭圆上，∴=1，=1，消去m得 n=. 又∵|n|≤3，∴||≤3，解得≤λ≤5，∴实数λ的取值范围是［，1)∪(1，5］. 方法2：记点A、B的坐标分别为(0，3)、(0，-3)，过点A、B分别作y轴的垂线，交直线PC于点M、N. 若||＜||，则||≤||，||≥||， ∴1＜≤==5，则1＜≤5，≤λ＜1； 若||＞||，同理可得1＜≤==5，则1＜λ≤5. 综上，实数λ的取值范围是［，1)∪(1，5］. 点评：解析几何中有关直线的方向、线段的定比分点、直线的垂直和平行的问题均可由平面向量的形式来表示. 【例2】如图,在平面直角坐标系中,一条定长为m的线段,其端点A、B分别在x、y轴上滑动,设点M满足=λ(λ是不等于1的正常数),试问:是否存在两个定点E、F,使得||、||、||成等差数列?若存在,求出E、F的坐标;若不存在,请说明理由. 解：设点M的坐标为(x,y),A(a,0)、B(0,b),则a2+b2=m2. 由=λ，得 ∴∴(1+λ)2x2+()2y2=m2, 即=1. 由λ0且λ≠1，知点M的轨迹为椭圆. 假如存在两点E、F,使||、||、||成等差数列,则2||=||+||.因m、λ为定值,故2||=是定值,即||+||为定值.故E、F应为椭圆的焦点,且为长轴长,于是,即0λ1. ∴当0λ1时,存在两定点E、F,它们分别为椭圆=1的两焦点(m,0)及(-m,0); 当λ1时,,M的轨迹是椭圆,半长轴长为,同时由假设知半长轴又为,矛盾,故此时不存在定点E、F. 【例3】 已知△OPQ的面积为S，且·=1，=m，S=m，以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q. (1)当m∈(1，2)时，求||的最大值，并求出此时的椭圆C方程； (2)在(1)的条件下，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，与椭圆C对应于焦点P的准线相交于D点，且=λ1，=λ2请找出λ1、λ2之间的关系，并证明你的结论. 分析：(1)先建立适当的坐标系，建立||关于m的函数关系式，再求||最大值m的值，从而求椭圆方程. (2)可先由特殊情况(如k=0)时寻找λ1、λ2的关系，再证过点p的直线斜率为k时，都有λ1、λ2满足k=0时λ1、λ2的关系式. 解：(1)以O为原点，OP所在直线为x轴建立直角坐标系，则p(m，0)，设Q(x0、y0)，则=(x0-m，y0). ∵·=1，S=m，∴mx0-m2=1，∴xO=m+. 又m·|y0|=m，∴|y0|=，∴=. 设t=m2+,m∈(1，2)，∵t′=2m-＞0，∴t在(1，2)上为增函数，∴当m=2时