高中总复习第一轮数学 (新人教A)第十四章极限（理）14.1 数学归纳法.docVIP

第十四章 极限(理) 网络体系总览 考点目标定位 1.数学归纳法、数学归纳法的应用. 2.数列的极限. 3.函数的极限、极限的四则运算、函数的连续性. 复习方略指南 极限的概念和方法是近代数学的核心内容,微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多地被应用,并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成,一是数学归纳法,二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别,函数的极限与函数连续性的渐进性. 14.1 数学归纳法 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.数学归纳法的定义 由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法:（1）先证明当n=n0(n0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法. 2.数学归纳法的应用 (1)证恒等式；(2)整除性的证明；(3)探求平面几何中的问题；(4)探求数列的通项；(5)不等式的证明. 二、点击双基 1.设f(n)=+++…+(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于( ) A. B. C.+ D.- 解析:f(n+1)-f(n)=++…+++-(++…+)=+-=-. 答案:D 2.若把正整数按下图所示的规律排序,则从2002到2004的箭头方向依次为( ) 解析:2 002=4×500+2,而an=4n是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数. 答案:D 3.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得( ) A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立 C.当n=4时该命题不成立 D.当n=4时该命题成立 解析:若原命题正确,则其逆否命题正确,所以若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立,若n=k+1时命题不成立,则n=k时命题也不成立. 答案:C 4.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有 ____________个点. 解析:观察图形点分布的变化规律,发现第一个图形只有一个中心点；第二个图形中除中心点外还有两边,每边一个点；第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点；…；依次类推,第n个图形中除中心点外还有n条边,每边n-1个点,故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1. 答案:n2-n+1 5.用数学归纳法证明34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为__________________. 解析:34(k+1)+2+52(k+1)+1=34(34k+2+52k+1)-56·52k+1. 答案:34(34k+2+52k+1)-56·52k+1 诱思·实例点拨 【例1】 比较2n与n2的大小(n∈N*). 剖析:比较两数(或式)大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明. 解:当n=1时，2112, 当n=2时，22=22, 当n=3时，2332, 当n=4时，24=42, 当n=5时，2552, 猜想:当n≥5时，2nn2. 下面用数学归纳法证明: (1)当n=5时，2552成立. (2)假设n=k(k∈N*,k≥5)时,2kk2, 那么2k+1=2·2k=2k+2kk2+(1+1)kk2+C0k+C1k+Ck-1k=k2+2k+1=(k+1)2. ∴当n=k+1时，2nn2. 由(1)(2)可知，对n≥5的一切自然数2nn2都成立. 综上，得当n=1或n≥5时，2nn2；当n=2、4时，2n=n2；当n=3时，2nn2. 讲评:用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩. 链接·拓展 当n≥5时，要证2nn2,也可直接用二项式定理证:2n=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+Cn-2n+Cn-1n+Cnn 1+n++ =1+n+n2-nn2. 【例2】数列{an}满足a1=1且an+1=(1+)an+(n≥1). (1)用数学归纳法证明an≥2(n≥2); (2)已知不等式ln(1+x)x对x0成立,证明ane2(n≥1),其中无理数e=2.718 28…. 剖析:本题第二问中