高中总复习第一轮数学 (新人教A)第十三章 导数(理) 13.1 导数的概念与运算.docVIP

第十三章 导数(理) 网络体系总览 考点目标定位 1.导数的概念、导数的几何意义、几种常见函数的导数. 2.两个函数的和、差、积、商和导数,复习函数的导数、基本导数公式. 3.利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值和最小值. 4.了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 复习方略指南 深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大(小)值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键. 1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础. 2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大(小)值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用. 13.1 导数的概念与运算 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.导数的概念 (1)如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)==. (2)如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导.这时对于开区间(a,b)内每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f′(x0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，记作f′(x), 即f′(x)=，导函数也简称导数. 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率. 3.几种常见的导数 C′=0(C为常数)；(xn)′=nxn-1；(sinx)′=cosx；(cosx)′=-sinx；(ex)′=ex；(ax)′=axlna；(lnx)′=；(logax)′=logae. 4.导数的四则运算法则 设u、v是可导函数，则 (u±v)′=u′±v′；(uv)′=u′v+uv′；()′=(v≠0). 链接·提示 f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义:f′(x0)是函数f(x)的导函数f′(x)当x=x0时的函数值. 二、点击双基 1.质点运动方程为s=t3-t2+1,那么当质点在t=2时的速度为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:s′=t2-t,∴s′(2)=0. 答案:A 2.设函数f(x)在x=x0处可导,则( ) A.与x0、h都有关 B.仅与x0有关而与h无关 C.仅与h有关而与x0无关 D.与x0、h均无关 答案:B 3.函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3x-y+1=0的夹角为45°,则点A的坐标为_ __________________________. 解析:设点A的坐标为(x0,y0), 则y′=2x=2x0=k1. 又直线3x-y+1=0的斜率k2=3, ∴tan45°=1==||. 解得x0=或x0=-1. ∴y0=或y0=1, 即A点坐标为(，)或(-1，1). 答案:(，)或(-1，1) 4.=___________________________. 解析:=sin′θ=cosθ. 答案:cosθ 诱思·实例点拨 【例1】 若f(x)在R上可导，(1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系；(2)证明若f(x)为偶函数，则f′(x)为奇函数. 剖析:(1)需求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数；(2)求f′(x)，然后判断其奇偶性. (1)解:设f(-x)=g(x),则 g′(a)= = =- =-f′(-a). ∴f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数互为相反数. (2)证明:f′(-x)= = =- =-f′(x). ∴f′(x)为奇函数. 讲评:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致. 链接·拓展 (2)中若f(x)为奇函数，f′(x)的奇偶性如何？ 【例2】已知函数f(x)=ln