高中总复习第一轮数学 (新人教A)第十四章极限1.docVIP

14.2 数列的极限 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.数列极限的定义 一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a(即|an-a|无限地接近于0)，那么就说数列{an}以a为极限. 注:a不一定是｛an｝中的项. 2.几个常用的极限 (1)C=C(C为常数)；(2)=0；(3)qn=0(|q|1). 3.数列极限的四则运算法则 设数列｛an｝、｛bn｝，当an=a,bn=b时，(an±bn)=a±b；(an·bn)=a·b；=(b≠0). 链接·提示 (1)an、bn的极限都存在时才能用四则运算法则； (2)可推广到有限多个. 二、点击双基 1.下列极限正确的个数是( ) ①=0(α0) ②qn=0 ③=-1 ④C=C(C为常数) A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2.(2005湖南高考)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=5,则(++…+)等于…( ) A.2 B. C.1 D. 解析:令bn=log2(an-1),则{bn}成等差数列,b1=log22=1,b2=log24=2,可知数列bn=n=log2(an-1), ∴an=2n+1,则an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n,即求(++…+)==1. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是( ) A.若An2=A2，则an=A B.若An＞0，An=A，则A＞0 C.若An=A，则An2=A2 D.若 (An-bn)=0，则An=bn 解析:排除法，取an=(-1)n，排除A；取an=，排除B；取An=bn=N，排除D． 答案:C 4.计算:=__________________. 解析:==3. 答案:3 5. =_______________. 解析:==. 答案: 链接·提示 求数列极限时,如是不定型(,,∞-∞等),应先变形,再求极限. 诱思·实例点拨 【例1】数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则(a1+a2+…+an)等于( ) A. B. C. D. 解析:∵an+an+1=, ∴a1+a2=,a3+a4=,a5+a6=,…. (a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+an) =［(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…］=(+++…)==. 答案:C 讲评:本题考查数列与极限.解本题重在数列求和,关键在于转化为无穷递缩等比数列. 【例2】 求下列极限: (1)；(2)(-n)； (3)(++…+). 剖析:(1)因为分子、分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子、分母同除以n2后再求极限；(2)因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限. 解:(1)==. (2)(-n)= ==. (3)原式= ==(1+)=1. 讲评:当n→∞时,(1)如果出现型,常上、下同除以n的多项式;(2)若出现型,常需约去“0”因子;(3)若出现∞-∞型,需化简或有理化. 链接·提示 对于(1)要避免下面两种错误:①原式===1, ②∵(2n2+n+7),(5n2+7)不存在，∴原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误:①(-n)=-n=∞-∞=0；②原式=-n=∞-∞不存在.对于(3)要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误. 【例3】（2005广东高考）已知数列{xn}满足x2=,xn=(xn-1+xn-2),n=3,4,….若xn=2,则x1等于( ) A. B.3 C.4 D.5 剖析:由xn=(xn-1+xn-2)可找出相邻两项之间的递推关系,再进一步求xn,利用xn=2可求x1. 解析:xn=(xn-1+xn-2),两边减去xn-1得xn-xn-1=-(xn-1-xn-2), ∴=-,即{xn-xn-1}是以x2-x1为首项,公比为-的等比数列, xn-xn-1=(-)(-)n-2. x2-x1=-, x3-x2=-(-),