高中总复习第一轮数学 (新人教A)第六章6.6 不等式的应用.docVIP

6.6 不等式的应用 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.运用均值不等式求最值最常见的有两类： (1)已知某些变量(正数)的积为定值，求和的最小值. 公式：a+b≥2，公式中条件是①a、b∈R+;②积ab为定值;③a=b时取等号. (2)已知某些变量(正数)的和为定值，求积的最大值. 公式：ab≤()2≤,上述公式中等号成立的条件是a=b. 2.某些函数单调性的判断往往渗透着不等式性质的应用，而单调性定义证明函数单调性也就是证明不等式. 3.求函数定义域，往往直接归结为解不等式或不等式组；求函数值域的常用方法是：(1)用均值不等式；(2)利用单调性；(3)配方法；(4)换元法. 4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最大最小值问题，都与不等式有密切关系；高考中的应用问题，多数可归结为不等式问题，这些问题大致分为两类：一类是建立不等式，解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值.函数求最值的常见途径有：(1)利用几何意义；(2)利用判别式；(3)利用变量的有界性；(4)建立函数单调性；(5)利用均值不等式等. 二、点击双基 1.(理)函数y=(x-1)的图象最低点坐标是( ) A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2) 解析：y==(x+1)+≥2.此时x=0. 答案：D (文)已知abc0,若P=,Q=,则（ ） A.P≥Q B.P≤Q C.PQ D.PQ 解析：特殊值检验.a=3,b=2,c=1. P=,Q=1,PQ. 答案：D 2.如果|x-|≥，那么sinx的取值范围是( ) A.［-,］ B.［-,1］ C.［-,］ D.［-,］∪(,1) 解析：易知|x-|≤且x-≠0,得-≤x≤且x≠. 答案：D 3.若a、b、c、d均为实数，使不等式0和adbc都成立的一组值(a、b、c、d)是____ __________________________.(只要写出适合条件的一组值即可) 解析：只需保证a、b、c、d的值满足a、b同号，c、d同号且满足其他条件即可. 答案：(2,1,-3,-2) 4.设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是_______________________. 解析：∵x0,y0,5=x+y≥2, ∴xy≤()2. 当且仅当x=y=时等号成立. 故lgx+lgy=lgxy≤lg()2=2-4lg2. 答案：2-4lg2 诱思·实例点拨 【例1】 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？ 解：设BC=a(a1),AB=c,AC=b,b-c=. c2=a2+b2-2abcos60°, 将c=b-代入得(b-)2=a2+b2-ab, 化简得b(a-1)=a2-. ∵a1,∴a-10. b===(a-1)++2≥+2. 当且仅当a-1=时，取“=”,即a=1+时,b有最小值2+. 【例2】 函数y=的最大值为4,最小值为-1,求常数a、b的值. 剖析：由于函数是分式函数,且定义域为R,故可用判别式法求最值. 解：由y=去分母整理得 yx2-2ax+y-b=0. ① 对于①,有实根的条件是Δ≥0, 即(-2a)2-4y(y-b)≥0. ∴y2-by-a2≤0. 又-1≤y≤4, ∴y2-by-a2=0的两根为-1和4. ∴解得或 讲评：这是关于函数最大值、最小值的逆向题. 链接·拓展 已知x、y∈R+且+=1，求x+y的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）. 由本题的启发，你能解下列问题吗？ 已知a、b是正常数，a+b=10,又x、y∈R+, 且+=1，x+y的最小值为18.求a、b的值. 略解: x+y=(x+y)(+)=10++≥10+2=18. 当且仅当=时取等号. 由解得 ∴当x=6,y=12时，x+y的最小值为18. 同上题,x+y=(x+y)(+)=a+b++≥a+b+2. 由得或 【例3】 (1)已知a、b是正常数，a≠b,x、y∈(0,+∞),求证：+≥,并指出等号成立