高中总复习第一轮数学 (新人教A)第十三章导数(文) 13.2 导数的应用.docVIP

13.2 导数的应用 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x). (2)确定f′(x)在(a,b)内的符号. (3)若f′(x)0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数； 若f′(x)0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数. 2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤 (1)求f′(x). (2)f′(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； f′(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间. 二、点击双基 1.函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为( ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(-∞,0) D.(0,2) 解析:由题意f′(x)=3x2-6x0, ∴0x2. 答案:D 2.函数f(x)=ax2-b在(-∞,0)内是减函数,则a、b应满足( ) A.a0且b=0 B.a0且b∈R C.a0且b≠0 D.a0且b∈R 解析:∵f′(x)=2ax,x0且f′(x)0, ∴a0且b∈R. 答案:B 3.函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(b-3)x+b的图象关于原点成中心对称,则f(x)( ) A.在［-4,4］上为增函数 B.在［-4,4］上非单调函数 C.在［4,+∞］上为增函数,在(-∞,-4)上为减函数 D.在(-∞,-4)上为增函数,在［4,+∞)上也为增函数 解析:因为f(x)=ax3+(a-1)x2+48(b-3)x+b的图象关于原点成中心对称, 所以f(x)为奇函数. 所以a=1,b=0. 所以f(x)=x3-144x. 所以f′(x)=3x2-144. 令f′(x)≥0, 所以3x2-144≥0. 所以x≥4或x≤-4. 所以函数f(x)在(-∞,-4]上为增函数,在［4,+∞)上也为增函数. 答案:D 4.在(a,b)内f′(x)0是f(x)在(a,b)内单调递增的__________________条件. 解析:∵在(a,b)内f(x)0,∴f(x)在(a,b)内单调递增. 答案:充分 诱思·实例点拨 【例1】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围. 剖析:f(x)在R上为减函数,则导函数在R上恒负. 解:f′(x)=3ax2+6x-1. (1)当f′(x)0时,f(x)为减函数. 3ax2+6x-10(x∈R),a0时,Δ=36+12a0, ∴a-3. ∴a-3时,f′(x)0,f(x)在R上是减函数. (2)当a=-3时,f(x)=-3(x-)3+. 由y=x3在R上的单调性知:a=-3时,f(x)在R上是减函数, 综上,a≤-3. 讲评:f(x)在R上为减函数f′(x)≤0(x∈R). 【例2】 已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直. (1)求a、b的值; (2)若f(x)在区间［m,m+1］上单调递增,求m的取值范围. 剖析:(1)由点P(-1,2)在曲线上,且f′(-1)=-3便可求出f(x)的解析式.(2)借助导数可求f(x)的单调区间,依据子集关系可求出m的值. 解:(1)f′(x)=3ax2+2bx, 由题意知 即 解之,得 (2)f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)≥0, 得x≤-2或x≥0, ∴f(x)的单调增区间为(-∞,-2)和［0,+∞］. 从而［m,m+1］(-∞,-2)或［m,m+1］［0,+∞］, ∴m+1≤-2或m≥0. ∴m≤-3或m≥0. 讲评:曲线在某点的切线的斜率就是曲线在该点处的导数值. 链接·提示 求函数的单调区间的具体步骤为: (1)确定f(x)的定义域; (2)计算导数f′(x); (3)求出f′(x)=0的根; (4)用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干区间,列表考查这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间. 【例3】 设f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a、b的值,并求出f(x)的单调区间. 剖析:由已知x=1处有极小值-1,点(1,-1)在函数f(x)上,得方程组解之可得a、b. 解:f′(x)=3x2