高中总复习第一轮数学 (新人教A)第六章 6.2 不等式的证明(一).docVIP

6.2 不等式的证明(一) 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.比较法又分为作差比较和作商比较,作商比较多用于都是正数、单项情况下,比值与1比较.作差比较最常用,作出差后,往往要用因式分解或配平方两种方法,有时还要讨论. 含方根的式子大小比较时,常要将它们平方或立方,再比较,其根据是:若pq0,则,p2q2;若mn,则m3n3,. 2.分析法:从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证明方法叫分析法.分析法的思想是“执果索因”,即从求证的不等式出发，探求使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式. 采用分析法证明不等式时,常用“”的符号，有时,若为充要条件时,也常用“”的符号.证明过程常表现为“要证……只要证……”. 3.综合法就是从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式,综合法往往是分析法的逆过程,表述简单,条理清楚,故证明时,往往先用分析法分析,再用综合法书写. 二、点击双基 1.(理)若a、b是正数,则、、、这四个数的大小顺序是…( ) A.≤≤≤ B.≤≤≤ C.≤≤≤ D.≤≤≤ 解析:可设a=1,b=2, 则=,=，=, ===. 答案:C (文)下列不等式恒成立的有( ) A.若a、b都是正数, B.tanα+cotα≥2 C.a、b、m是正数,则 D.+4 解析:易知A、B、C不恒成立,对于D,两边平方即可. 答案:D 2.若实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则xy+yz+zx的取值范围是( ) A.［-1,1］ B.［-,1］ C.［-1,］ D.［-,］ 解析:∵xy+yz+zx≤++=x2+y2+z2=1, 又∵2(xy+yz+zx)=(x+y+z)2-(x2+y2+z2)≥0-1=-1, ∴xy+yz+zx≥-.故选择B. 答案:B 3.若a、b、c是常数,则“a0且b2-4ac0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当a0,b2-4ac0时，ax2+bx+c0.反之,ax2+bx+c0对x∈R成立不能推出a0,b2-4ac0. 反例:a=b=0,c=2.故选A. 答案:A 4.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为__________________________________________. 解析:设甲地至乙地的距离为s,船在静水中的速度为v2,水流速度为v(v2＞v＞0)，则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间 t=+=,平均速度v1==. ∵v1-v2=-v2=-＜0，∴v1＜v2. 答案:v1＜v2 诱思·实例点拨 【例1】 设abc,n∈N,试求使不等式+≥成立的n的最大值. 剖析:原不等式可转化为+≥n恒成立.只要求出+的最小值即可. 解:+=+ =2++≥4, 当且仅当=,即b-c=a-b, 即2a=a+c取等号. 要使+≥n恒成立,只需n≤4. 故n的最大值为4. 链接·拓展 设abcd,n∈N,求使不等式++≥成立的n的最大值. 答案:n的最大值为9. 【例2】 已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y. 求证：＞. 剖析:观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合. 证法一:（作差比较法） ∵-=, 又＞且a、b∈R+， ∴b＞a＞0.又x＞y＞0,∴bx＞ay. ∴＞0,即＞. 证法二:(分析法) ∵x、y、a、b∈R+,∴要证＞, 只需证明＞,即证xb＞ya.而由＞＞0,∴b＞a＞0.又x＞y＞0, 知xb＞ya显然成立.故原不等式成立. 链接·聚焦 该例若用函数的单调性应如何构造函数? 解法一:令f(x)=,易证f(x)在(0,+∞)上为增函数,从而. 再令g(x)=,易证g(x)在(0,+∞)上单调递减. ∵,a、b∈R+,∴ab. ∴g(a)g(b),即,命题得证. 解法二:原不等式即为, 为此构造函数f(x)=,x∈(0,+∞). 易证f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,而, ∴，即. 【例3】 某食品