高中数学总复习第二轮专题四 4.1 向量的运算、数量积.docVIP

专题四 平面向量 考情动态分析 平面向量是新增的内容，近几年中每年必考，而且有加强的趋势.从2006年高考题来看，有以下几个考查形式和特点： (1)有关“定比分点”，主要考查概念、定比分点坐标、中点坐标、两点间距离公式，试题难度不大，与课本中的例题、习题相当； (2)向量的加法，主要考查运算法则、几何意义； (3)平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力； (4)平面向量与三角、平面几何结合命题经常出现； (5)正弦定理和余弦定理的应用，如解斜三角形. 预测2007年的高考趋势： (1)以选择题、填空题形式出现的题目重点考查向量的运算为主. 此类题一般难度不大，用来解决有关长度、夹角、垂直、平行、判断多边形的形状等. (2)以与三角函数、平面几何、解析几何知识相结合的解答题的形式出现. 此类题综合性比较强，难度较大，其中以三角函数、平面几何、解析几何中的常规题为主. §4.1 向量的运算、数量积 考点核心整合 1.主要知识点有:向量的加法、减法运算；实数与向量的积；两个向量数量积的运算以及向量的坐标表示.重点内容是:向量共线的条件；向量的加减法运算法则；数量积a·b=|a||b|cosθ及其公式的变形. 2.借助向量知识可以求解长度、夹角,判断平行、垂直等问题,依据有:|a|=,cosθ=,a∥b(b≠0)a=λb,a⊥ba·b=0(这里a≠0,b≠0). 3.要注意的是:①若a∥b且c∥b,不一定有a∥c;再者,|a·b|=|a||b|也不一定正确. 4.理解向量及其有关概念；掌握向量的加法与减法；掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握向量的坐标运算. 考题名师诠释 【例1】点O在△ABC内部且满足+2+2=0，则△ABC的面积与△OBC面积之比为( ) A. B.3 C.4 D.5 解析：设=2，=2，如图 ∵+2+2=0， ∴O是△AB′C′的重心. ∴S△AOB′=S△AOC′=S△OB′C′. 又B、C分别为OB′、OC′的中点，∴S△OBC=S△OB′C′=S△AOB′=S△AOC′ =S△AOB=S△AOC，∴S△ABC∶S△OBC=5. 答案：D 评述：因为++=0，由向量加法的几何意义可知O为△AB′C′的重心，从而找出OAB′，OAC′，OB′C′面积之间的关系. 【例2】已知向量a=(2cos2x，1)，b=(1，m+sin2x)(x∈R，m为实数，且y=a·b. (Ⅰ)求y关于x的函数表达式y=f(x)； (Ⅱ)当x∈［0，］时，f(x)的最大值为3，求m的值；若此时函数y=f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象按向量c=(h，k)(|h|＜)平移后得到，求实数h，k的值. 解：(Ⅰ)y=a·b=(2cos2x，1)·(1，m+sin2x) =2cos2x+sin2x+m =sin2x+cos2x+m+1 =2(sin2x+cos2x)+m+1 =2sin(2x+)+m+1. 即f(x)=2sin(2x+)+m+1. (Ⅱ)f(x)=2sin(2x+)+m+1 ∵x∈［0，］，∴2x+∈［，］， ∴当2x+=时，即x=时，f(x)取最大. 由题意知：2+m+1=3，∴m=0. 此时：f(x)=2sin(2x+)+1，可由函数y=2sin2x 向左平移个单位，再向上平移一个单位得到， ∴h=-，k=1，c(h，k)=c(-，1). 评述：向量的坐标形式沟通了向量与三角、解析几何等的联系。向量的有关概念和运算是处理这类问题的基础. 【例3】 已知点G是△ABC的重心. (1)求++； (2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于M、N，且=x·，=y·，试求的值. 解：(1)方法1：延长AG到E，使得AG=GE，并设AE与BC交于D，则D是BC的中点. 由BC和GE互相平分知四边形BGCE为平行四边形，∴+=. ∵+=0，∴++=0. 方法2：延长AG与BC交于D，则=2=(+)+(+)， ∴++=+=0. (2)令=b，=c，则=xb，=yc，=13(b+c). ∴=-=(-x)b+c，=-=-b+(y-)c. 由与共线，知(-x)(y-)=×(-)，从而=3. 说明：本题第(1)小题采用了向量加法的平行四边形法则，也可以设三角形三个顶点坐标，利用教科书5.5节例2结论证明；第(2)小题还可利用5.3节例5结论求解：=(b+c)=(·+·)=·+·，由M、G、N共线得=1， 即=3. 【例4】已知平面向量a=(,-1),b=(,).