高中数学总复习第二轮专题八排列、组合和概率（文）8.1 排列、组合与二项式定量.docVIP

专题八 排列、组合和概率（文） 考情动态分析 排列与组合是发展迅速的组合数学的初步的知识．这种以计数为特征的内容在中学数学中较为独特，是进一步学习高等数学有关知识的准备，而且由于其思想方法较为独特灵活，也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材．概率与统计是在排列与组合的基础上，学习概率的一些初步的知识，让学生初步感受概率与统计的实际意义及思考方法，培养学生分析和解决实际问题的能力. 从今年全国及16省市的高考题来看，题目类型基本上都相同，一般是选择题、填空题1—2道，解答题1道，分值为17—21分，难度为低、中档题，全面考查基础内容，并且注重了应用性和综合性及数学思想的考查． 由于这部分内容与高等数学的内容密切相关，同时为了进一步推动高中数学课程的教学改革，这一章的高考试题特点将会保持稳定． §8.1 排列、组合与二项式定量 考点核心整合 项 目 内 容 两个原理 分类计数原理 做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1+m2+m3+…+mn种不同的方法． 分步计数原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1·m2·m3·…·mn种不同的方法． 排 列 排列 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 排列数公式 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示为=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)．当m=n时，为全排列，即=n(n-1)(n-2)…3·2·1=n!．排列数公式可写成：=(规定0!=1) 组 合 组合 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用表示. 组合数公式 =,还可以写成=. 组合数性质 ①=;②=+. 二项式定理 展开式 (a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn. 通项 第r+1项Tr+1=an-rbr(r=0,1,2,…,n). 二项式系数 (r=0,1,2,…,n) 注意 (1)它表示二项展开式中的任意项,只要n与r确定,该项也随之确定.(2)通项公式表示的是第r+1项,而不是第r项.(3)公式中a、b的位置不能颠倒,它们的指数和一定为n.(4)二项式系数与项的系数区别. 二项式系数性质 对称性 =(r=0,1,2,…,n) 最值 如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大,即:当n是偶数时,n+1是奇数,展开式共有n+1项,中间一项即第(+1)项的二项式系数最大,为;当n是奇数时,n+1是偶数,展开式共有n+1项,中间两项即第项及第+1项的二项式系数最大,为. 系数和 (1)二项式系数的和等于2n,即+++…+=2n.(2)二项展开式中,偶数项系数和等于奇数项系数的和,即：+++…=+++…=2n-1. 系数比 展开式中相邻两项的二项式系数的比是∶=(n-k)∶(k+1). 考题名师诠释 【例1】在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（ ） A.36个 B.24个 C.18个 D.6个 解：依题意满足条件的情况只有一种：两个奇数一个偶数. 从1，3，5三个数中任取两个数，有种取法； 从2，4两个数中取一个数有种取法； 把取出的3个数进行全排列有种排法. 由分步计数原理可得：共有·=36个. 答案：A 评述：本题主要考查排列组合知识，一般来讲解决方法都有直接法和间接法两种，本题就是直接法. 【例2】8个人排成一排，其中甲、乙、丙3人中，有两个相邻，但这3个人不同时相邻，求满足条件的所有不同排法的种数. 分析：通过审题发现，这是一道典型的排列问题，对于排列中元素必须在一起时，常把它们看作一个整体，然后考虑其内部的位置关系；对于排列中不能相邻的元素，采用插空的方式来处理. 解法一：（直接插入法）先排甲、乙、丙以外的5个人，有种排法；再从甲、乙、丙3个人中选2人合并为一个元素，和余下的1个人插入6个空中，有·种插排法.故总的排法为··=21