高中总复习第一轮数学 (新人教A)第六章 6.5 不等式的解法(二).docVIP

6.5 不等式的解法(二) 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.绝对值不等式的性质 (1)基本性质:a∈R,①|a|≥0(当且仅当a=0时取等号); ②|a|≥±a; ③-|a|≤a≤|a|. 2.绝对值不等式的解法 设a0,a∈R,|x|=ax=±ax2=a2; |x|ax2a2-axa; |x|ax2a2x-a或xa. 3.绝对值不等式的性质 (1)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (2)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 4.解绝对值不等式的思路 去绝对值符号.常见的有: (1)|x|a |x|a (2)平方法:|f(x)||g(x)|［f(x)］2［g（x））2. (3)划分区域讨论法(零点分区间). (4)形如|x-a|+|x+a|c或|x-a|-|x-b|c的不等式;利用不等式的几何意义. 二、点击双基 1.(理)不等式|x|·(1-2x)0的解集是……( ) A.(-∞,) B.(-∞,0)∪(0,) C.(,+∞) D.(0,) 解析：原不等式等价于即 答案：B (文)(2004安徽春季高考)不等式|2x2-1|≤1的解集为( ) A.{x|-1≤x≤1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|0≤x≤2} D.{x|-2≤x≤0} 解析:由|2x2-1|≤1得-1≤2x2-1≤1. ∴0≤x2≤1，即-1≤x≤1. 答案:A 2.不等式|x+log3x||x|+|log3x|的解集为( ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,+∞) 解析：由绝对值不等式的性质知x·log3x0, ∵x0,∴log3x0. 答案：A 3.若|x-a|ε,|y-|ε,则下列不等式成立的是( ) A.|x-y|ε B.|x-y|ε C.|x-2y|3ε D.|x-2y|2ε 解析：由|y-|ε知|a-2y|2ε, 又|(x-a)+(a-2y)|≤|x-a|+|a-2y|ε+2ε,即|x-2y|3ε. 答案：C 4.已知不等式a≤对x取一切负数恒成立,则a的取值范围是___________________. 解析：由≥=2即得答案. 答案：(-∞,2) 5. 若不等式|x-4|+|3-x|a的解集是空集，则实数a的取值范围是__ _______________________________________． 解析:由|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1,故原不等式解集为空集，a的取值范围是(-∞,1］. 答案:(-∞,1］ 诱思·实例点拨 【例1】 设m是|a|、|b|和1中最大的一个,当|x|m时,求证:|+|2. 证明:∵m是|a|、|b|和1中最大的一个, ∴m≥|a|,m≥|b|,m≥1. ∵|x|m≥|a|,|x|m≥|b|,|x|m≥1, ∴|x|2|b|. ∴|+|≤||+||=++=2. 讲评:理解“m是｜a|、|b|和1中最大的一个”是解题的开始. 建立|a|、|b|和|x|的不等关系靠m作为中间过渡,巧用不等式|a+b|≤|a|+|b|更是一次突破性的进展. 【例2】 设函数f(x)=ax+2,不等式|f(x)|6的解集为(-1,2),试求不等式≤1的解集. 解:|ax+2|6, ∴(ax+2)236, 即a2x2+4ax-320. 由题设可得 解得a=-4. ∴f(x)=-4x+2. 由≤1即≤1变形得≥0. 它等价于(5x-2)(4x-2)0或5x-2=0且4x-2≠0, 解得x或x≤. ∴原不等式解集为{x|x或x≤}. 【例3】 解关于x的不等式:a|x2-1|a+2(a0). 解:当-2a0时,不等式可化为|x2-1|1+,∵1+0,故x∈. 当a=-2时,x∈. 当a-2时,不等式化为|x2-1|1+. ∵1+0, ∴-1-x2-11+. ∴-x22+. 又∵-0,2+0, ∴x或-x-. 综上,可知当-2≤a≤0时,x∈; 当a-2时,x∈(-,-)∪(-,2+).