高中数学总复习第二轮专题六 6.2 直线与圆锥曲线的位置关系.docVIP

§6.2 直线与圆锥曲线的位置关系 考点核心整合 本节内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质，以及它们与直线的位置关系的判定，弦长的有关计算、证明等，本部分内容为高考命题的热点. 1.椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质. 2.椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下: (1)从方程的形式看:在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次方程，所以它们属于二次曲线; (2)从点的集合(或轨迹)的观点看:它们都是与定点和定直线距离的比是常数e的集合(或轨迹)，这个点是它们的焦点，定直线是它们的准线.只是由于离心率e取值范围的不同，而分为椭圆(0e1)、双曲线(e1)和抛物线(e=1)三种曲线； (3)这三种曲线都是由平面截圆锥面得到的截线. 3.坐标法是研究曲线的一种重要方法，本节进一步研究求曲线方程的一般方法，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，以及用坐标法证明简单的几何问题等. 4.椭圆、双曲线、抛物线是常见的曲线，利用它们的方程及几何性质，可以解决一些简单的实际问题；利用方程可以研究它们与直线的交点、相交弦等有关问题. 链接·思考 如何判定直线与圆锥曲线的位置关系？ 提示:直线与圆锥曲线的位置关系由它们的方程组解的情况来确定.由方程组消元后得到形式上的一元二次方程，必须讨论二次项的系数是否为零.若不为零，再通过判别式Δ讨论根的个数，从而得到直线与圆锥曲线的相交、相切或相离位置关系的判定；若二次项系数为零，消元后的方程实际上是个一次方程，通过讨论它是否有满足方程组的根，进而得知直线与圆锥曲线相交(方程组有一解)或相离(方程组无解). 考题名师诠释 【例1】设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′.若l′与椭圆x2+=1的交点为A、B,点P为椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由题意易知l′:2x+y-2=0,A、B为椭圆的两个顶点,|AB|=,要使△PAB的面积为,则点P到直线l′的距离为. 与l′平行且距离为的直线与椭圆的交点即为所求点P. 直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′:2x+y-2=0. l′与椭圆的交点为A(1,0)、B(0,2),|AB|=. S△PAB=|AB|·h=. ∴h=. 易求得与l′平行且距离为的直线为l1:2x+y-3=0, l2:2x+y-1=0,显然直线l2与椭圆有两个交点,l1与椭圆无交点. 故满足题意的点P有两个. 答案：B 评述：本题亦可利用数形结合求点P到直线l′的距离,然后与比较. 【例2】设A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线. (1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论. (2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围. 解：(1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0且y1、y2不同时为0, ∴上述条件等价于y1=y2x12=(x1+x2)(x1-x2)=0. ∵x1≠x2, ∴x1+x2=0,即当且仅当x1+x2=0时,l经过抛物线的焦点F. (2)设l在y轴上的截距为b,l的方程为y=2x+b,过A、B两点的直线方程为y=-x+m, ∴x1、x2满足方程2x2+x-m=0,即x1+x2=-. A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ=+8m＞0,即m＞-. 设A、B两点的中点N(x0,y0),则x0==-, y0=-x0+m=+m. 由N∈l,∴+m=-+b. 于是b=+m＞-=. 故l在y轴上截距的取值范围为(,+∞). 【例3】已知椭圆+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点. (Ⅰ)求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； (Ⅱ)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围. 分析：(Ⅰ)先由圆过点O，F得出圆心在x=-上，再由圆与l相切得出半径r，再进一步求出圆心坐标. (Ⅱ)G点的横坐标的取值范围取决于直线的斜率的取值，故可先建立xG关于直线的斜率K的函数，再求函数的值域. 解：(Ⅰ)∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2 ∵圆过O，F，∴圆心M在直线x=-上， 设M(-,t),则圆半径r=｜(-)-(-2)｜=. 由｜