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【变式训练】定义：离心率e= 的椭圆为“黄金椭圆”，已知E： + =1（ab0）的一个焦点为F(c,0)(c0)，则E为“黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”的( ) (A)既不充分也不必要条件 (B)充分且必要条件 (C)充分不必要条件 (D)必要不充分条件 【解析】选B.若E为黄金椭圆，则e= = , ∴b2=a2-c2=a2- = =ac 所以a,b,c成等比数列. 若a、b、c成等比数列，则b2=ac ?a2-c2=ac?e2+e-1=0，又0e1, 所以e= ，故E为黄金椭圆. 直线与椭圆的位置关系 【方法点睛】 1.直线与椭圆位置关系判断的步骤 第一步：联立直线方程与椭圆方程； 第二步：消元得出关于x（或y）的一元二次方程； 第三步：当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离. 2.直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)、B（x2，y2）,则 |AB|= = (k为直线斜率). * * 第六节 椭圆 1.椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点； 2.椭圆的定义、标准方程、几何性质常常独立考查；直线与椭圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题； 3.选择题、填空题、解答题三种题型都有可能出现. 1.椭圆的定义 （1）满足条件： ①在平面内 ②与两个定点F1、F2的距离之___等于常数 ③常数大于______ （2）焦点：两定点. （3）焦距：两______间的距离. 和 |F1F2| 焦点 【即时应用】判断下列点的轨迹是否为椭圆（请在括号内填“是”或“否”） （1）平面内到点A（0，2），B（0，-2）距离之和等于2的点的轨迹 ( ) （2）平面内到点A（0，2），B（0，-2）距离之和等于4的点的轨迹 ( ) （3）平面内到点A（0，2），B（0，-2）距离之和等于6的点的轨迹 ( ) 【解析】由椭圆的定义可知:（1）距离之和小于|AB|，所以点的轨迹不存在；（2）距离之和等于|AB|，点的轨迹是以A、B为端点的一条线段；（3）符合椭圆定义，点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆. 答案：（1）否 （2）否 （3）是 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x y o B2 A1 A2 B1 F1 F2 b a c 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b 图形 性质 范围 对称性 顶点 轴 （ab0） （ab0） -a ≤x ≤ a -b ≤y ≤b -b ≤x ≤b -a ≤y ≤ a A1(-a，0) B1(0，-b) A2（a，0） B2（0，b） A1(0，-a) A2（0，a） B1(-b，0) B2（b，0） x y o A2 B1 B2 A1 F1 F2 b c a 图形 性质 焦距 离心率 a、b、c 的关系 x y o B2 A1 A2 B1 F1 F2 b a c x y o A2 B1 B2 A1 F1 F2 b c a 【即时应用】（1）思考：椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系? 提示：因为离心率e= = = ， 所以，离心率越接近于1，b就越接近于0，即短轴的长接近于0，椭圆就越扁；离心率越接近于0，a、b就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近相等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆. （2）已知椭圆 + =1的焦点在y轴上，若椭圆的离心率为 ，则m的值为_______. 【解析】 + =1的焦点在y轴上，所以a2=m, b2=2，离心率为e= = = ，又离心率为 ，所以 = ，解得m= . 答案： （3）已知椭圆的短轴长为6，离心率为 ，则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为_______. 【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3 ① 又因为离心率为 ，所以 = ② 又因为a2=b2+c2 ③ 解①②③组成的方程组得：a=5,c=4. 所以，焦