談數學解題(左太政教授演講)-前金國中.ppt

淺談數學解題 左太政 /國立高雄師範大學數學系 數學中的問題解決 1980年4月, 以美國數學教師全國聯合會(NCTM)的名義，公佈了一份名曰《行動綱領 – 80年代數學教育的議程》的文件，首次提出必須把問題解決(problem solving)作為80年代中學數學的核心。 對「問題」的理解 美國著名數學家P.R.Halmos曾說：「問題是數學的心臟。」 美籍匈牙利著名數學教育家波利亞(G.Polya)在《數學的發現》一書中曾給出問題明確含義，並從數學角度對問題作了分類。他指出，所謂「問題」就是意味著要去尋找適當的行動，以達到一個可見而不立即可及的目標。 《牛頓大詞典》對「問題」的解釋是：指那些並非可以立即求解或較困難的問題(question)，那種需要探索、思考和討論的問題，那種需要積極思維活動的問題。 對「問題」的理解 課題組主席奈斯 (M.Niss) 把「數學問題解決」中的「問題」具體分為兩類： 一類是非常規的數學問題； 另一類是數學應用問題。 這種界定現已經逐漸為人們所接受。 數學中的問題解決 問題,是數學的核心, 學習數學就是學習如何解決問題,包括那些可以轉換成數學題的各類問題(即外在連結)。 由於解題的態度和學習方法的不同,將影響其學習成效。 問題與習題的區別 問題是一種情境狀態。 所謂有問題的狀態，即這個人面臨著他們不認識的東西，對於這種東西又不能僅僅應用某種典範的解法去解答，因為一個問題一旦可以使用以前的算法輕易地解答出來，那麼它就不是一個問題了。 問題與習題的區別 問題解決中的「問題」，並不包括常規數學問題，而是指非常規數學問題和數學的應用問題。 這裡的常規數學問題，就是指課本中既已唯一確定的方法或可以遵循的一般規則、原理，而解法程序和每一步驟也都是完全確定的數學問題。 問題與習題的區別 問題情境狀態下，要對學生本人構成問題，必須滿足三個條件: (1)可接受性。指學生能夠接受這個問題，還 可表現出學生對該問題的興趣。 (2)障礙性。即學生當時很難看出問題的解法、程序和答案，表現出對問題的反應和處理的習慣模式的失敗。 (3)探索性。該問題又能促使學生深入地研究和進一步的思考，展開各種探究活動，尋求新的解題途徑，探求新的處理方法。 一個好問題的「標準」(一) 解決非單純練習題式的問題正是數學教育改革的一個中心論題。 一個好問題的「標準」(二) 一個好問題標準應具備以下三個方面： 一個好問題應該具有較強的探究性。 ?? 對於大多數學生而言，具有探索性或創造性的問題，可通過努力得到解決的。 在競賽中，「問題解決」在很大程度上所發揮的只是一種「篩子」的作用，這是與以「問題解決」作為數學教育的中心環節和根本目標有區分的。 一個好問題的「標準」(二) 一個好問題，應該具有啟發性和可發展空間。 一個好問題的啟發性指問題的解答中包含著重要的數學原理，對於這些問題或者能啟發學生尋找應該能夠識別的模式，或者通過基本技巧的某種運用很快地得到解決。 「問題解決」還能夠促進學生對於數學基本知識和技能的掌握，有利於學生掌握有關的數學知識和思想方法。 一個好問題的可發展空間是說問題並不一定在找到解答時就會結束，由此可以引出新的問題和進一步的結論。 一個好問題的「標準」(二) 一個好問題應該具有一定的「開放性」。 好問題的「開放性」，首先表現在問題來源的「開放」。 問題應具有一定的現實意義，與現實社會、生活實際有著直接關係。(外在連結) 問題的「開放性」，包括問題具有多種不同的解法，或者多種可能的解答，打破「每一問題都有唯一的標準解答」和「問題中所給的信息都有用」的傳統觀念，這對於學生的思考和創新能力的發揮具有極為重要的意義。 思考問題 已知梯形ABCD,上下底長不相等，試問需加上何種條件使得此梯形為等腰？ 思考問題 已知梯形ABCD,上下底長不相等，試問需加上何種條件使得此梯形為等腰？ 分有輔助線及沒有輔助線二種情形 思考問題 已知A﹐B二城市之間相隔一個大池塘，無法直接測量，但為使能測量出A﹐B二城市之間的距離，請提出可行的方案。  已知A﹐B二城市之間相隔一個大池塘，無法直接測量，但為使能測量出A﹐B二城市之間的距離，請提出可行的方案。 可實施分組討論教學法，以幾何方法解決。 例如相似三角形、作直角三角形、作特殊角三角形、平行四邊形或梯形。 開放型實例說明 如何平分任意一個已知角?請說明理由。 是否能只用一把可以量距離的直尺平分任意一個已知角?請說明理由。 開放型實例說明 如果沒有圓規，你會利用何種物品畫圓? 一圓沒畫圓心，請問以何種方式來決定圓心? 幾何知識之統整，答案有多種 問題解決的六個不同的概念 解決教科書中標題文字題，有也叫做練習題； 解決非常規的問題