《高等代数》课程习题2.docVIP

第一章 行列式 一、填空题： 1、设为阶方阵，|| = ，则 ||=_______， ||=_______. 2、设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且|A|=3，|B|=2，C=，则|C|=___________. 3、设四阶行列式，是其元的代数余子式，则， . 4、线性方程组有非零解的充要条件是满足 二、选择题： 1、设阶方阵的行列式展开式中应有一项为（ ） (A) (B) (C) (D) 2、设列向量组，则与三阶行列式等值的行列式是（ ） （A） （B） （C） （D） 3、阶行列式不为零的充分必要条件是（ ） （A）中至少有 个元素不为零 （B）中所以元素都不为零 （C）的任意两列元素之间不成比例 （D）以为系数行列式的线性方程组有唯一解 4、已知的一次多项式，则式中一次项的系数为（ ） （A） （B） （C） （D） 三、计算下列行列式： 其中. 四、解下列线性方程组. 五、设、、、为互异实数，则的充要条件为. （一）填空题答案：1、；2、；3、；4、； （二）选择题答案：1、C；2、C；3、D；4、B； （三）解： 因为，令 则有，， 因此，从而 （四）解：由Cramer法则知： . （五）证明：因 其中是元的余子式，特别地，，比较上式中的系数知，，又、、、为互异实数，从而 第二章 矩阵及其运算 一、填空题： 1、设，，，则，. 2、设，则，. 3、设，则. 4、设方阵满足，其中为单位矩阵，则. 二、选择题： 1、设、、+、都是阶可逆阵，则=（ ）。 （A） （B）+ （C） （D） 2、设、、皆为n阶方阵且，则（ ） （A）0 （B） （C） （D） 3、设、为n阶可逆矩阵，且AB=BA，则下列结论中不对的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 4、下列命题正确的是（ ）。 （A）若，则可逆且 （B）方阵的行列式阶子式 （C）若方阵不可逆，则都不可逆 （D）若阶矩阵或不可逆，则必不可逆 三、设矩阵, 矩阵X满足，其中E为3阶单位矩阵，试求矩阵X。 四、设阶矩阵满足关系式，则实数满足什么条件时，是可逆的，并求出它的逆. 五、（1）设阶矩阵可逆，证明：它的伴随矩阵亦可逆且. （2）设为阶矩阵, 证明：. （一）填空题答案：1、；2、 ；3、；4、； （二）选择题答案：1、C或D；2、C；3、D；4、D； （三）解：由，而 ，故可逆，因此. （四）解：由 当时，是可逆的，其逆为. （五）证明：（1）由关系式，以及可逆知，从而 . （2）当可逆时，；当时，有，从而；当且不可逆时，有 否则，必可逆，从而由知必有，与矛盾； 纵上所述知结论成立。 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 填空题： 1、设，为某常数，为非零矩阵，为大于的整数，且， 则秩，. 2、已知方程组无解，则. 3、设，，，，则的解为. 4、设n阶矩阵的秩为，则线性方程组的通解为. 选择题： 1、设，都是n阶矩阵，则与 （ ） （A） （B） （C） （D） 2、设为非齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ） （A）若仅有零解，则必有唯一解， （B）若有非零解，则必有无穷多解， （C）若有无穷多解，则仅有零解， （D）若有无穷多解，则有非零解. 3、设为非齐次线性方程组，则下列结论不正确的是（ ） （A）若有无穷多解,则也有无穷多解， （B）若无解, 则也无解， （C）若有无穷多解,则也有无穷多解， （D）若有唯一解,则也有唯一解. 4、设，，，，则（ ） （A） （B） （C） （D） 三、求解非齐次方程组 四、求的值，使齐次线性方程组 有非零解，并求其通解. 已知，都是阶，其中为阶可逆； 若，求矩阵. （一）填空题答案：1、；2、；3、；4、； （二）选择题答案：1、C；2、D；3、A；4、B； （三）解：增广矩阵 ，. （四）解：，则或. 故当时，方程组有非零解. 当时，. 当时，. （五）解： 证明：由 是可逆的，且 . 解：由， ， 故. 第四章 向量组的线性相关性 填空题： 1、设，，，若线性相关，则若线性无关，则 2、已知三维向量组线性无关, 则向量组也线性无关的充要条件为 3、设，为某常数，为阶非零矩阵，且， . 4、若能由，，线性表示，且表示法唯一，则 选择题： 1、已知式的一个基础解系，则该线性方程组的基础解系还可以选为（ ） （A） （B） （C）的等价向量组 （D）