例谈高考试题中的“焦点四边形”的最值问题.pdfVIP

维普资讯 中学数学研究 2008年第7期 例谈高考试题中的 “焦点四边形”的最值问题 浙江省杭州师范大学附属中学 (31OO3O) 苏立标 如果圆锥曲线的内接四边形的对角线经过 与FN共线，且PF ·MF=0．求 四边形 圆锥 曲线的焦点，我们把这样的四边形叫做焦 PMQN 的面积的最小值和最大值． 点四边形．圆锥曲线的焦点四边形与焦点三角 解：由条件知 MN 和PQ是椭圆的两条 形有许多相似的性质，焦点四边形中的最值问 弦，且 Ⅳ_上． ，所以MN和PQ 中至少有一 题在近几年的高考试题及全国各地的模拟试题 个斜率存在 不妨设PQ 的斜率为忌，则PQ 的 中频频亮相，值得关注，这类问题往往把考查圆 方程为y=妇 +1，代入椭圆方程得 锥 曲线的性质与求最值问题结合起来，形成一 (2+忌) +2kx一1=O：IPQI=4-1+忌I1 个知识与能力的交汇点，是考查学生综合应用 知识能力的良好载体，倍受命题者所推崇，成为 ～ I ． 一 道新的亮点．本文试 图通过例析高考试题进 行分类归纳其常见的类型，以供高考复习时参 (1)当忌≠o时，MN的斜率为一专，易得 考 ． 2√2(1+ ) 一 、 只有一条对角线过焦点的 “焦点四边 IMNI=——— ，故四边形的面积为 形” 2+ 例 1 (2005年全国高考数学试题)P、Q、 2 M、N四点都在椭圆 +普=1上，F为椭圆 s = 厶 ． — ． ． 薯 ： 在Y轴正半轴上的焦点，已知PF与r-Q共线， 解析：(1)当 ，z=1时，S1=a1=2(a1—1)， 是等差比数列；当d=0时，即数列{a}是常数 解得 al=2；当 ，z≥2时，a = 一 一1= 数列时，数列{a}不是等差比数列． 2(a一1)一2(a一1—1)’．．．a=2a一1，于是数 (3)通项形如b=aq+b(口6≠0)形式的 列{a}是首项为2，公比为2的等比数列’．．．a 数列，如b=2·3+1，显然此数列{b}既不是 =2(，z∈N )． 等差数列，也不是等比数列，但 上 = · n+1 ． 对 任 意 ，z∈N ， ： ⅡH+1 。an ! _二 =3(3为常数) · ．