教案四：第四课时（不等式的证明A）.docVIP

●教学目标 (一)教学知识点 分析法证明不等式. (二)能力训练要求 1.理解分析法证明不等式的原理和思路. 2.理解分析法的实质——执果索因,熟练掌握分析法证明不等式. (三)德育渗透目标 分析法证明不等式意在提高学生的数学素质,培养学生的创新意识,加强学生分析问题和解决问题的逻辑思维及推理能力,进一步使学生认识到事物间是有联系的辩证唯物主义观念. ●教学重点 分析法证明不等式,就是“执果索因”,从所证的不等式出发,不断用充分条件代替前面的不等式,直至使不等式成立的条件已具备,就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法. 用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:欲证命题B为真,只需证明命题B1为真,从而又只需证明命题B2为真,从而又……只需证明命题A为真,今已知A真,故B必真.简写为:BB1B2…BnA. ●教学难点 1.理解分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件. 2.正确使用连接有关(分析推理)步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等. ●教学方法 指导自学法.即通过教师必要的引导,学生自己动手、动脑获取知识,并指导学生总结、归纳分析法，证明不等式的方法思路,使学生在转化“矛盾”中,增强化归、转化意识,树立化归、转化思想,提高化归、转化能力.“执果索因”,去探索证明不等式的途径. ●教具准备 投影片一张 记作§6.3.4 A 用分析法证明不等式: (1)设x,y∈R,且x2-2xy+2y2=2,求证:|x+y|≤. (2)设a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1,试证:|ax+by|≤1. (3)a,b∈R+,且a+b=1,求证:. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］随着我们对不等式证明学习的逐步深入,我们还会遇到这样的问题:面对一个不等式的证明而一筹莫展,无计可施,由题设不易“切入”展开推理.在此情况下,我们可以尝试从目标不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的过程中,逐渐发现解题思路,从而达到证明不等式的目的. 今天,我们根据这种基本思路,继续探讨学习证明不等式的又一种重要方法——分析法. Ⅱ.讲授新课 (简述:“分析法”证明不等式的基本思想) ［师］证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立.这种证明方法通常叫做分析法. (关于“分析法”证明不等式,其基本模式在后面“备课资料”中有较详细说明) 下面,我们探索分析用“分析法”证明不等式. ［例1］求证:. ［师］显然,目标不等式中含有根式,我…们尝试先平方、合并,后对其进行化简,逐步寻求不等式成立的充分条件,以达证题目的. (在教师指导下,请同学们书写证明过程) ［生］∵均为正数 ∴为了证明, 只需证明, 展开得:10+220 即210 ∴5, ∴2125. ∵2125成立. ∴成立. 即[. ［师生共析］证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.例如,在本例中,我们很难想到从“2125”入手.因此,在不等式的证明中,分析法占有重要的位置.我们常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思想方法. ［例2］证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面(指横截面,下同)的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大. ［师］当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小.设截面的周长为L,则周长为L的圆的半径为,截面积为π()2;周长为L的正方形边长为,截面积为()2.所以本题只需证明π()2()2. (教师指导学生,正确写出证明过程) ［生］设截面的周长为L,依题意,截面是圆的水管的截面积为π()2,截面是正方形的水管截面面积为()2. 本题只需证明 π()2()2, 为了证明上式成立,只需证明 两边同乘以正数,得 因此,只需证明 4π 显然,上式“4π”是成立的. 故π ()2()2. 这就证明了,通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大. ［师生共析］我们想一想,本题是否可以用比较法证明呢?(教师引导下,让学生尝试写出证明过程). ［生］设截面的周长为L,依题意,截面是圆的水管的截面面积为π()2,截面是正方形的水管的截面面积为()2,则: π()2-()2 ∵L0,4π ∴L20,4-π0 ∴0 即π()2()2. 故证明了,通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大. 本题中比较π()2与()2的大小,也可用作商法.