（平面向量的数量积及运算律）典例剖析(第一课时).docVIP

［例1］已知|a|=6,|b|=8,且a∥b，求a·b. 选题意图：本题主要考查平面向量数量积的概念及计算. 解：∵a∥b ∴a与b方向相同或相反. 若a与b同向，则θ＝０° ∴a·b=|a||b|ｃｏｓ０°＝６×８×１＝４８ 若a与b反向，则θ＝１８０°， ∴a·b=|a||b|ｃｏｓ１８０°＝６×８×（－１）＝－４８ 说明：两个向量的数量积与它们的模和夹角有关，向量夹角的范围是０°≤θ≤180°，当a∥b时，夹角应有两种情况.  ［例2］判断下列命题的真假，并说明理由. (1)在△ABC中，若·＜０，则△ABC是锐角三角形； (2)在△ABC中，若·＞０，则△ABC是钝角三角形； (3)△ABC为直角三角形的充要条件为·＝０. 选题意图：本题主要考查向量的夹角以及用向量的数量积判断三角形形状的方法. 解：（１）∵·=||||ｃｏｓθ＜０ ∴θ即与的夹角为钝角，而与的夹角是∠Ｂ的补角 ∴∠B为锐角，但∠Ａ、∠Ｃ可能有一个为钝角(或直角)，所以，△ABC不一定为锐角三角形. 故命题(1)为假命题. (2)∵·＞０ ∴与的夹角为锐角，从而夹角的补角∠B为钝角 ∴△ABC为钝角三角形. 故命题(2)是真命题. (3)△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B或∠C. 当∠A或∠C为直角时，∠B一定为锐角，这时·＜0. 故命题(3)是假命题. 说明：在对以上各命题进行真假判断时，我们一定搞清两向量的夹角与三角形内角的关系，如与的夹角为三角形内角A，而与的夹角不是三角形内角B，而是角B的补角.  ［例3］设|a|=2ｓｉｎ，|b|=4ｃｏｓ，a与b的夹角为，求a·b的值. 选题意图：本题考查向量数量积运算和三角函数值的计算. 解：a·b=|a||b|ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ·４ｃｏｓ·ｃｏｓ ＝４ｓｉｎｃｏｓ ＝２ｓｉｎ＝１ 说明：本题利用了数量积的定义以及三角函数的倍角公式，它具有一定的综合性，能培养综合应用知识的能力.