（不等式的证明B）例题（五）.docVIP

［例1］已知△ABC三边长是a、b、c，且m为正数.求证： (教材P18第9题) 选题意图：考查利用函数的单调性及放缩法证明不等式. 分析：构造函数f(x)= (x＞0，ｍ＞0)①不等式右边=f(c)，左边=f(a)+f(b)②易知单调性.f(x)=，随x增大而增大.单调增函数.③因a+b＞c，故有f(a+b)＞f(c)，只要证f(a)+f(b)＞f(a+b)即可.因此缩小的目标是把f(a)+f(b)缩小为f(a+b)即可. 证明：设函数f(x)= (x＞0，ｍ＞0)易知f(x)随x增大而增大， ∴f(x)在x∈(0，＋∞)是增函数. ∵f(a)+f(b)= ＞ a＋b＞c， ∴f(a+b)＞f(c)＝. ∴＞. ［例2］已知1≤x2＋y2≤2，求证：≤x2－xy＋y2≤3. 选题意图：本题考查换元法(等价转化为熟悉函数)在不等式证明中的应用. 证明：设x＝ｒcosθ，y＝ｒsinθ(1≤ｒ≤，0≤θ＜2π ∴x2－xy＋y2＝ｒ2cos2θ－ｒcosθ·ｒsinθ＋ｒ2sin2θ ＝ｒ2(1－). ∵≤1－sin2θ≤，1≤ｒ2≤2 ∴≤ｒ2(1－sin2θ)≤3， 即：≤x2－xy＋y2≤3. 说明：①三角函数是熟悉函数，它有很多重要性质.②换元时注意要等价，如1≤ｒ≤，0≤θ＜2π. ［例3］已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1,ac+bd＞1.求证：a、b、c、d中至少有一个是负数. 选题意图：本题考查利用反证法证明不等式. 证明：假设a、b、c、d都是非负数， ∵a+b=c+d=1， ∴(a+b)(c+d)=1. 又(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd≥ac+bd， ∴ac+bd≤1. 这与已知ac+bd＞1矛盾. ∴a、b、c、d中至少有一个是负数.