（不等式的证明B）例题（一）.docVIP

例1 已知a，b，c是不全相等的正数，求证 解法一：（比较法） ∵a，b，c是不全相等正数，∴上式大于0 ∴ 解法二：（综合法） ∵ 又∵≥ ≥ab ∴≥(a+b)ab ① 同理可得：≥(b+c)bc ② ≥(c+a)ca ③ 由①②③得 ≥ 又∵a，b，c为不全相等正数 ∴ 例2 已知函数上是增函数，a，bR. (1)证明命题：若≥0，则≥； （2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论. 证明：（1）∵≥0≥≥ 或b≥－a≥ 两式相加得，≥ （2）假设a+b＜0，那么 这与（1）结论矛盾，故只有a+b≥0成立，因此，逆命题成立. 例3 已知：函数，设a，b且a2≠b2， 证法一：（比较法） = ∵， ∴≥ ∴， 又a2≠b2，可得 ∴ 即 证法二：（分析法） 要证明 只需证明 即 即 只需证明 即 ∵a2≠b2,∴a2+b2＞2ab 所以原不等式得证 例2设a+b+c=1,求证≥ 证法一（比较法） ∵－=－（a+b+c）2 =[(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2]≥0 ∴≥ 证法二（综合法） ∵≥2ab，≥2bc，≥2ca ∴2()≥2ab+2bc+2ca ∴3()≥+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2=1 ∴≥ 例4 已知a＞0，≤ 证明：（分析法） 令 所以要证明原不等式成立 只需证明≤ 只需证明≤ 即证≥ 故只要证明t≥2 而≥2 所以原不等式成立 例4 设x，y，z，且x+y+z=a 求证：≥ 证明：（均值代换法） 设则t1+t2+t3=0 ∴ =+≥ 当且仅当t1=t2=t3=0，x=y=z=时“=”成立.