（空间直线）典例剖析(空间直线习题课).docVIP

［例1］如图9—40，长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面为边长为a的正方形，棱AA1为2a，M，N分别是CD和AD的中点，(1)求证：M、N、A1、C1四点共面且MNA1C1是等腰梯形，(2)求梯形MNA1C1的面积. 选题意图：考查点共面的判定、一旦共面，立体几何中的问题就可转化为平面几何中的问题来解决. (1)证明：连结AC ∵M、N分别是CD，AD的中点， ∴MN∥=AC ∵ABCD—A1B1C1D1为长方体 ∴ACC1A1为矩形，AC∥=A1C1 ∴MN∥=A′C′，于是M，N，A1，C1共面且MNA1C1为等腰梯形. 在△A1AN和△C1CM中，∠A1AN＝∠C1CM＝90°，A1A＝C1C＝2ａ，AN＝CM ∴△A1AN≌△C1CM，∴A1N＝C1M ∴MNA1C1为等腰梯形. (2)解：由长方体的性质，可得,∴梯形的高 ［例2］如图9—41，已知a、b是异面直线，直线c、d分别与a交于不同两点P、Q，c、d分别与b交于不同两点M、N，求证c,d是异面直线. 选题意图：考查异面直线的判定方法. 分析1，用定义判定. 证法一：假设c、d不是异面直线，则c、d在同一平面β内. ∵c∩ａ＝P，d∩ａ＝Q，ｃβ，dβ, ∴P∈β，Q∈β 而P∈ａ，Q∈α ∴aβ，同理bβ ∴a、b共面，这与a、b异面矛盾. ∴c、d是异面直线. 分析2：用判定定理 证法二：∵P∈a,且a和b是异面直线. ∴Pb,∴b与P确定一个平面，设为α， ∵ａ∩α＝P，Q∈ａ ∴Qα 又∵N∈d,Q∈ｄ,N∈α,PMα ∴c、d是异面直线. 说明：判定两直线为异面直线的方法①定义(用反证法)②课本P13例3，过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线. ［例3］如图9—42，长方体ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2ａ，AA1＝ａ，E和F分别是A1B1和B1C1的中点，求： (1)EF和AD1所成的角的正弦值； (2)A1D1和B1B间的距离； (3)AC1与B1C所成角的余弦值. 选题意图：考查异面直线所成的角、异面直线之间的距离.解此类问题一般步骤是：①作出(指出)②证明③求值. 解：(1)取BB1的中点M，分别连结AD1，BC1，MF，ME ∵E、F为A1B1、B1C1的中点 ∴MF∥=BC1 ME∥=A1B 由ABCD—A1B1C1D1为长方体的性质知AD1∥BC1 ∴AD1∥MF ∴∠EFM为AD1和EF所成的角. 由长方体性质且AB＝BC＝2ａ，A1A＝ａ ∴ 由三角形余弦定理，知 则 (2)由长方体的性质可知，A1B1⊥A1D1，A1B1⊥B1B，且A1B1∩A1D1＝A1，A1B1∩B1B＝B1，∴A1B1为A1D1和B1B的公垂线段， ∵A1B1＝AB＝2ａ，∴A1D1和BB1间的距离为2a. (3)把长方体补成正方体A1B1C1D1—MNPQ，如图9—43，连结MC，MB1，由正方体的性质可知MC∥AC1，∴∠B1CM（或其补角）为AC1和B1C所成的角α在正方体A1B1C1D1—MNPQ中，A1B1＝B1C1＝2ａ，A1M＝2ａ，∴B1C＝，∴由三角形余弦定理可得 ＞0 ∴AC1和B1C所成的角的余弦值为. 图9—40 图9—41 图9—42 图9—43