（空间直线）构造异面直线所成角的几种方法.docVIP

构造异面直线所成角的几种方法 异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的.准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节.本文举例归纳几种方法如下，供参考. 抓异面直线上的已知点 过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标. 例1.如图1，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值.(1992年高考题) 图1 解：在平面ABB1A1内作NE∥AM交AB于E，则NE与NC所成的锐角（或直角）为AM和CN所成的角. 设正方体的棱长为a， 由余弦定理得 即异面直线AM和CN所成角的余弦值为. 过异面直线上的已知点直接引另一条直线的平行线有困难时，可构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造异面直线所成角. 例2.如图2，ABC.（1995年理科高考题） 图2 解：连结D1F1、CF1， 由题意知D1F1B1C1，BCB1C1，D1F1CB是梯形. 在辅助平面D1F1CB内引F1N∥BD1交BC于N，则F1N与AF1所成的锐角（或直角）就是BD1与AF1所成的角. 设BC=a，1N中，易求得AF1=由余弦定理得 即BD1与AF1所成角的余弦值为 2.抓异面直线上的特殊点 考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住构造异面直线所成角是一条有效的途径. 例3.如图3，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面AC，ABCD是矩形，且BC=3，AB=4，PA=12，求异面直线PC与BD所成角的余弦值. 解:取BD的中点O（特殊点），在对角面PAC内引ON∥PC交PA于N，则 N是PA的中点，且ON与OB所成锐角（或直角）为PC与BD所成的角. ∵ABCD是矩形，AB=4，BC=3， ∴BD=AC=5，又PA⊥底面，且PA=12，∴PC=13. 在△ONB中，易求OB= 图3 由余弦定理得 3.抓几何体上的特殊点 当异面直线依附于几何体，且直接过异面直线上的点平移直线困难时，利用几何体上的特殊点构造异面直线所成角是一种有效的方法. 例4.如图4，正方体AC1中，B1E1=D1F1=求BE1与DF1所成角的余弦值.(1995年文科高考题) 图4 解：在棱A1B1中取H（特殊点）使A1H=则A1H D1F1，A1HF1D1是平行四边形， ∴HF1A1D1. 又A1D1AD，∴ADF1H是平行四边形，AH∥DF1. 引HN∥BE1，交AB于N，则锐角∠AHN就是DF1与BE1所成的角. 设正方体棱长为a，在△AHN中，易求AN= 由余弦定理得 4.平移几何体 有些问题中，整体平移几何体，能简化解题过程. 例5.如图，长方体AC1中，AB=12，BC=3，AA1=4，B1N=，求BD1与C1N所成角的余弦值. 解：如图5，将长方体AC1平移到BCFE—B1C1F1E1的位置，则C1E∥BD1，C1E与C1N所成锐角（或直角）就是BD1与C1N所成的角. 在△NC1E中，根据已知条件可求B1N=4，C1N=5，C1E=13， EN= 由余弦定理得 图5 N