（不等式的解法B）习题九（不等式的解法）.docVIP

［例1］解下列关于x的不等式:(a∈R) (1)2x2+ax+20. (2)x2-(a+a2)x+a30. 分析:根据一元二次不等式的结构特点,先由判别式确定不等式对应方程的根的情况,再结合图象或公式表得出不等式的解集. 解:(1)∵Δ=a2-16 ∴当Δ0,即-4a4时,原不等式解集为R. 当Δ=0,即a=±4时,原不等式解集为:{x|x≠-}. 当Δ0,即a4或a-4时, 方程2x2+ax+2=0的两根为: x1=(-a-) x2=(-a+) 原不等式的解集为: {x|x (-a-),或x(-a+)}. 故当-4a4时,原不等式解集为R. 当a=±4时,原不等式解集为{x|x≠-}. 当a4或a-4时,原不等式解集为: {x|x(-a-),或x(-a+). (2)原不等式等价于(x-a)(x-a2)0. 当a0时,有aa2,原不等式的解集为: {x|xa或xa2}. 当a=0时,原不等式的解集为:{x|x≠0} 当0a1时,有aa2,原不等式的解集为: {x|xa2或xa} 当a=1时,原不等式的解集为:{x|x≠1} 当a1时,有aa2,原不等式的解集为: {x|xa或xa2} 评述:一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要给予足够的重视.对含字母系数的一元二次不等式,要学会讨论的方法,对一元二次不等式常用的分类方法有: ①按x2项的系数a的符号分类,即a0,a=0,a0; ②按判别式Δ的符号分类,即Δ0,Δ=0,Δ0; ③按方程ax2+bx+c=0的根x1,x2的大小来分类,即x1x2,x1=x2,x1x2. ［例2］解不等式|x-1|+|x+2|5. 分析:解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号,本题由于含有的绝对值符号较多,故不宜直接用前面例1的办法去解决,转而考虑绝对值的定义. 解:(1)当x1时,x-10,x+20,原不等式等价于:(x-1)+(x+2)5,即x2,与x1取公共部分得:x2. (2)当-2≤x≤1时,x-1≤0,x+2≥0,原不等式等价于:(1-x)+(x+2)5,得35,显然不成立. (3)当x-2时,x-10,x+20,原不等式等价于:(1-x)-(x+2)5,得:x-3,与x-2取公共部分得:x-3. 故原不等式的解集为:{x|x2,或x-3}. 评述:当一个不等式中含有较多的绝对值符号时,常用定义来去掉绝对值符号.用定义去绝对值符号,实际上就是进行分类讨论.这时,一定要注意两点:一是分类要“不重不漏”,二是要对所分的类与该类的结果求交集,最后再把所求的各个交集并起来.因此在学习时,一定要注意用集合的思想、观点、方法去理解和解决不等式的有关问题. ［例3］解不等式|2x+1|3x-2. 分析:解含绝对值的不等式的基本原则是去掉绝对值,转化为不含绝对值的不等式.通常有下面三种解题思路:(1)定义法:利用绝对值的定义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;(2)公式法:|f(x)|g(x)f(x)-g(x)或f(x)g(x);|f(x)|g(x) -g(x)f(x) g(x);(3)平方法:|f(x)|a(a0) f2(x)a2;|f(x)|a(a0) f2(x)a2. 解法一:（定义法） |2x+1|3x-2 ∴原不等式的解集为{x|x3}. 解法二:（公式法） |2x+1|3x-22x+13x-2或2x+1-(3x-2) x3或x[SX()1[]5[SX]] x3 ∴原不等式的解集为{x|x3}. 解法三:（平方法） |2x+1|3x-2 故原不等式的解集为:{x|x3}. 评述:解不等式时,要做到小心细致,注重等价,分类讨论,着力转化.本例中的解法二运用了公式,避免了讨论,应予以重视.