（不等式的解法B）习题十一（不等式的解法）.docVIP

［例1］解下列不等式: (1)(-3x+2)(4x+2)2(x-1)3(x-3)≤0. (2)≤0. 分析:根据题型特点,可用“数轴标根法”求解. 解:(1)∵不等式(-3x+2)(4x+2)2(x-1)3(x-3)≤0 ∴方程(-3x+2)(4x+2)2(x-1)3(x-3)=0的根为,-,1,3,这些根把数轴分为5个区间(如图所示). 故原不等式的解集为: {x|x=-或≤x≤1或x≥3}. (2) 所以原不等式的解集为{x|x-3或x≥0且x≠3}. 评述:（1）解高次不等式时,如何“画线”是关键环节,因此,要十分重视“画线”的方法.一般地,在“画线”时应注意以下两点:①注意观察f(x)最高次项的系数,若系数为正,则从右上方开始切入,依次穿过各点;否则,从右下方开始切入,如例1中(1)题;②穿点时,遇到根对应的因式的指数为偶数时,则转弯;指数为奇数时,则直穿过轴.如例1中(1)题. （2）基本型不等式是将原不等式右边化为0,左边进行因式分解,将恒不为零的二次因式约去,同时保持各因式中x的系数为正号,对于多重根的因式可先将偶次因式约去,单独考虑重根是否为不等式的解,如例1中(2)题. ［例2］解下列不等式: (1) (2) (3) 分析:求解无理不等式必须首先有理化,而这里作等价变换的依据是当a0,b≥0时,abanbn(n∈N),对于不具备这一条件的,可通过讨论等价地转化为两个不等式组.在解题时还要注意原不等式未知量的取值范围.无理不等式解法的基本模型如下: (1) (2) (3) 或 (4)f(x)· (5)f(x)· 其中f(x),g(x)均为有理式. 解:(1)依据不等式左边可知x须满足 解之得:0≤x≤3 原不等式等价于 故原不等式的解集是{x|0x3}. (2)原不等式等价于不等式组 (Ⅰ)(Ⅱ) 不等式组(Ⅰ) 不等式(Ⅱ) 综上可知原不等式的解集为: {x|-5≤x0}∪{x|0≤x≤-1+}={x|-5≤x≤-1+}. (3)原不等式等价于不等式组 {x|0x≤1或2≤x10} 故原不等式的解集为{x|0x≤1或2≤x10}. 评述:这几个例题均是套用基本无理不等式的模型解法,但要在套用模型的训练中,加深理解解无理不等式的三点原则,即一是无理化有理,二是注意不等式的定义域,三是注意运算条件是否满足. ［例3］解下列不等式: (1)3x2-2x-3()x-1 (2)16x-22+2x+30 (3)lg(x2-3x-4)-lg(x+5)≥lg2 (4)logx-8logx+70 分析:解指数与对数不等式的基本思路大体是: ①可以考虑把不等式的两边化成同底数的幂或同底数的对数的形式,然后再根据指数函数、对数函数的单调性.把它化为代数不等式,但要注意对数不等式的真数大于零这一隐含条件.其解法模型是: 当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x) logaf(x)logag(x)  当0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x) logaf(x)logag(x) ②可以考虑令不等式中某一个简单的指数式或对数式为y,把原不等式转化成关于y的代数不等式,然后先对于y解不等式,再通过y来求出原不等式的解集. 对于例3(1)中,右边可化为3-3x+3,再运用指数函数y=3x的单调性,将不等式转化为关于x的二次不等式.对于例3(2)中,可考虑y=4x,将原不等式转化为关于y的二次不等式.对于例3(3)中要注意x2-3x-40及x+50,为简化运算可将lg(x+5)移至不等式的右边.再运用对数运算法则及单调性.对于例3(4)中,要化为同底的形式,再考虑运用换元法. 解:(1)原不等式等价于3x2-2x-333-3x ∵31 ∴x2-2x-33-3x 即有x2+x-60{x|-3x2} 故原不等式的解集为{x|-3x2}. (2)原不等式等价于42x-4·4x+30. 令y=4x,则有y2-4y+301y3 即14x3 ∴0xlog43. 故原不等式的解集是{x|0xlog43}. (3)原不等式等价于lg(x2-3x-4)≥lg2(x+5) -5x≤-2或x≥7 故原不等式的解集为{x|-5x≤-2或x≥7}. (4)原不等式等价于logx-+70 令y=logx,则原不等式转化为 y-+700y(y+8)(y-1)0-8y0或y1 即-8logx0或logx1 1x256或0x. 故原不等式的解集是{x|1x256或0x}. 评述:解指数不等式的思路是将其等价地转化为代数不等式,转化的方法主要有①利用指数函数的单调性;②利用换元法将原不等式转化为代数不等式.解对数不等式的关键是将其等价地转化为代数不等式,转化过程中要特别注意真数大于零底数大于零且不等于1这些隐含条件,同时考虑如何合理地运用对数函数的单调性及换元